凸函数及其应用

§2 凸函数及其应用 凸函数定义及其等价形式： 设f(x)在区间I 上有定义,若对任意x 1 、x 2∈I ，λ∈[0，1]成立不等式：
f(λx 1+(1-λ)x 2)≤ λf(x 1)+ (1-λ)f(x 2)
则称f(x)是区间I 上的凸函数。

f(x)是区间I 上的凸函数当且仅当对任意x 1 、x 2 、x 3∈I ，x 1 < x 2 < x 3，下列不等式之一成立:
13131212)
()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- ， 2
3231313)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- 。

事实上，设λ=
1
31
2x x x x --，则0 < λ < 1 ,且x 2 = λx 3+(1-λ)x 1 ,代入上面任意
一式,变形后即得定义形式。

定理：若f(x)在区间I 上连续，则f(x)是区间I 上凸函数的充要条件为：对任意x 1 、x 2∈I 成立 2
)
()()2(
2121x f x f x x f +≤+ 。

证：只须证明充分性。

设n = k ≥ 2 时成立：
())()()(21
)2(
221221k k
x f x f x f x x x f k
k
+++≤
+++ 。

考察n = k+1的情形：))2
2(21()2(
1
1
212211
21k
k k k k k k x x x x f x x f ++++++=++++ 1112212122121()()222111
(()())(()())222k
k k k k k k k k k x x x x f f f x f x f x f x ++++++++⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭⎛⎫
≤++++ ⎪
⎝⎭
())()()(2
1
12211++++=+k x f x f x f k 。

设λ＝n m
2∈[0，1]，则1-λ＝n
n m 22-。

注意到kx = k
x x x +++，所以由上
可知 )(2
2)(2)2)2(())1((212121x f m
x f m x m mx f x x f n
n n n n -+≤-+=-+λλ 。

对任意λ∈[0，1]，可用二进制数列{
n m
2
}逼近，于是由连续性即证得定理。

注：定理中f(x)连续性条件不能去掉。

否则,即使定理中其他条件都成立，在实数域内f(x)也不一定是凸函数（参阅史树中编《凸分析》P.72）。

范例：
1、若f(x)是区间I 上的凸函数，则对I 的任一内点x ，)(,)(_x f x f ''+都存在，而且)()(_x f x f '≥'+ 。

证：x 1 < x < x 2 ，则
x x x f x f --11)()(≤
x
x x f x f --22)
()( 。

当x 1↑x 时，上式左边↑，当x 2↓x 时，上式右边↓，在由单侧导数定义即证。

2、设f(x)是区间I 上的凸函数，则在I 的任一闭子区间上f(x)有界。

证：设[a ，b]⊂ I ，∀x ∈[a ，b]，取λ＝
a
b a
x --，则x =（1-λ）a + λb , f(x) ≤（1-λ）f(a) + λf(b) ≤ Ｍ ( 此处Ｍ＝ max(f(a) , f(b)) ) 。

再令c =
2
b
a +，∀x ∈[a ，b]，存在x 关于c 的对称点x '，由f(x)的凸性得到 M x f x f x f c f 2
1)(212)()()(+≤'+≤ ，因此，f(x) ≥ 2 f(c)– Ｍ ＝ ｍ 。

3、设f(x)是区间（a ，b ）上的凸函数，则在（a ，b ）的任一闭子区间上f(x)
满足Lipschitz 条件。

证：设],[βα⊂（a ，b ），取h > 0,使得 ],[h h +-βα⊂（a ，b ）。

∀x 1 、x 2∈],[βα，x 1 < x 2 . 令x 3 = x 2 + h ,则
1212)
()(x x x f x f --≤2323)()(x x x f x f --≤
h
m M -.又令x 3 = x 1 – h ,则 1212)()(x x x f x f --≥313)()(x x x f x f --≥ －
h
m
M - ．因此有
2121)()(x x h
m
M x f x f --≤
- 。

（注：由1知区间上凸函数一定连续，由3知区间上凸函数内闭一致连续。

）
4、设a 1 ，a 2 ，．．．，a n ，为n 个正数，证明：
∑
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛≥=∏∏==n
i i i a n n i i n
i a i
a a
1
111。

证：取对数原式变形为
n
i i i
i
a a a
a 1)ln()(ln ∏∑∑≥ ，注意到
)ln()
ln(1
n
a a i
n
i ∑∏≤ ，只须证
)ln()(ln n
a a a a i
i
i i ∑∑
∑≥ ，即证
)ln()1(ln 1n
a a n a a n i i
i i ∑∑∑≥ 。

为此，设x x x f ln )(=，上式可表示为
)1
()(1∑∑≥i i a n
f a f n 。

由于0)(>''x f ，f(x)是凸函数，故而命题成立。

5、设0,0>>k k a p （k = 1，2 ,…, n ） 。

求证：
∑∑∑∑≤
∑∑≤==k
k
k p a p n
k k
k n
k k
p
a
p a p p
e k k k )
ln (
11。

证：原式可变形为∑∑∑∑∑∑≤≤-)(ln ln )(1
)(
ln(
k
k k k k k k k k p a p a p p a p p ，于是由x x f ln )(-=的凸性可得第一个不等式，由x x g ln )(=的凹性可得第二个不等式。

6、设p > 0 , q > 0 。

求证：当 2
0π
<
<x 时 q
p q
p q
p q p q p x x ++<
)
(cos sin 。

证：原式可变形为 q
p q
p
q p q x p
x +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛1cos sin 22
，取对数又可变形为
)1ln()cos ln()sin ln(22q
p q x q p q p x q p p +<+++，由x x g ln )(=的凹性即证。

7、设a i > 0 , b i > 0 , q i > 0 ,
11
=∑=n
i i
q
, 则：i i i
q i n
i i n i q i
n i q i
b a b a )(1
1
1
+≤+∏∏∏===。

证：原式变形为 i
i
q n i i
i
q n i i
i
a
b a b ∏∏==⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+≤⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+1111，取对数又可变形为)1ln(1ln i i
i
q i i a b q a b i
+≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∑∏ 。

注意到 e i i i i
a b q q i i a b ∑=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∏ln ，e i i a b i i a b ln = ，上式又可变形为 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑+∑e e i i i i i a b
i a b
q q ln ln 1ln 1ln 。

令)1ln()(x e x f +=，由f(x)的凸性即证。

8、设1,),,2,1,,,2,1(0,01
===>>∑=m
k k
k
i k m k n i a λ
λ。

则：
k
k
m
k n i i k n
i m
k i
k a a
λλ∏∑∑∏====⎪⎭
⎫
⎝⎛≤1111。

注：若m=2，记2
1
211
,1
,,λ
λ=
=
==q p b a a a i i i i ，则上式就是lder o H ..
不等式
()()
()()
时即得柯西不等式。

当不等式又可写成：
再记2,,,,1
11
1
1
1
1
1==≤==≤∑∑∑∑∑∑q p B A B A b B a A b a b a q
q
i
p
p
i
i
i
q i i p
i i q
i
p
i
q
i
p
i
证：记Ａk =
∑=n
i ki
a
1
，右边即为
∏k
k
A λ
，不等式变形为：
12
1
2211
1≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑=m
m mi i n i i A a A a A a λλ
λ ，
由于m
m mi i i
A a A a A
a λλλ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 21
2211 k m
mi m i i A A a
A a A a ，及λλλ+++≤
222111
的
定义可知不等式成立。

9、设0,0>>k k b a ，1>p 。

求证Minkowski 不等式：
()
()
()
p
p k
p
p k
p
p
k k
b a b a
1
1
1
)(∑∑∑+
≤
+ 。

证：记1
1
)(,--∑∑∑+=
++=p k
k p k
k p k k k k k c b c a b a b a c 则：
()()()()()()[]p
p p
k
k
p
p k
p
p k
p
p p k
p
p k
p
p p k
p
p
k
p p p k
p
p k
p p p k
p
p k
b a b a
c b c a c b c a 1
111
1
1
11
11
1
)()
()
()
()
(-----∑∑∑∑∑∑∑∑∑+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=+≤
+=
再注意到p
p p 111-=-
即证。

10、设n a a a ,,,21 是互不相同的正整数，则：∑∑==≥n
k n
k k k
k a 1121。

证：2
2
2211111111n
n
n n n n k k k k k k k k k a a k k a k k ======⎛
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝∑∑∑∑∑ ，最后一个不等式是因为诸k a 各不相同，故可设k a k ≥ 。

11、设f （x ）在[a ，b]连续，），是（∞+∞-)(x ϕ上的凸函数，则：
⎰⎰-≥-b
a
b a dx x f a b dx x f a b ))(1
())((1ϕϕ 。

证：在不等式))(())(())((11i i i
i i n
i i f a
b x f a b x x f a b ξϕξϕξϕ∑∑∑-∆≥-∆=∆-=两边
令)(0}m ax {∞→→∆=n x i λ取极限即证。

12、设f(x)在(a ,b)连续，则f(x)是凸函数的充要条件是：对任意含于(a ,b)的闭区间
[x-h ，x+h]，都有 ⎰-
+≤h
h dt t x f h x f )(21
)( 。

证：（必要性）∀h t ≤，f(x) ≤
2
1
( f(x-t) + f(x+t))，故 2 h f(x) ≤
2
1
⎰-++-h
h
dt t x f t x f )()(＝⎰-+h
h
dt t x f )( 。

（充分性）假定存在x 1 < x 2 使
dt t x x h h
h
⎰-+>)()(200ϕϕ，再由)(x ϕ的定义推出 dt t x
f x hf h
h
⎰-+>
)()(20
0。

出师
表
两汉：诸葛亮
先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。

若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。

后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。

受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。

今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。

此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。

至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。

若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。

臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。