高数 数列的极限

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2. 收敛数列一定有界. 证: 设 取
1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a a 1 a
xn a 1, 从而有
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a xn M ( n 1 , 2 , ) .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n f (n).
数列的极限
( 1) 观察数列 {1 n
n 1
} 当 n 时的变化趋势.
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问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于 1. n
正
比较可知
又
xn xn1 ( n 1, 2 , )
xn (1 1 ) n 1 1 n
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又
1 )n xn (1 n
11
11
3 1 2
n 1
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 . 记此极限为 e , 即
n
lim (1 1 ) n e n
e 为无理数 , 其值为
e 2.718281828459045
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列 的极限为 0 . 证:
xn 0
欲使 只要 即
ln . 亦即 n 1 ln q 1 ln , 则当 n > N 时, 就有 因此 , 取 N ln q
q n1 0
故
n
lim q n1 0
1. 夹逼准则 (准则1)
数列极限存在的判断定理
n
(1) yn xn zn ( n 1, 2 , )
(2) lim yn lim z n a
n n
lim xn a
证: 由条件 (2) , 0 , N1 , N 2 ,
当
当
时, 时,
令 N max N1 , N 2 , 则当 n N 时, 有
a y n xn z n a 即 xn a , 故 lim xn a .
由条件 (1)
n
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例1. 证明
证: 利用夹逼准则 . 由
1 1 1 n2 n 2 2 2 2 n n n n n 2
n
从而 xn a b 2
取 N max N1 , N 2 , 则当 n > N 时, xn 满足的不等式 a b 3a b x x b a ba xn b ba a b2 a n n 3 a b 2 2 2 2 22 矛盾. 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第一节
第二章
数列的极限
一、数列极限的定义
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
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一 、数列极限的定义
引例1. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知

n
r
当 n 无限增大时, 无限逼近 S 刘徽割圆术
刘徽
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且
1 n2 lim 1 lim 2 n 1 2 n n n
1 1 1 lim n 2 1 2 2 n n n 2 n n
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2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 )
n( n1)( nn1) 1 n! nn
1 1 2 1 1 2! (1 1 ) 3! (1 1 ) (1 n ) n n
1 2 n! (1 1 ) (1 n ) (1 n1) n n
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xn 1 1 1 (1 1 ) 1 (1 1 ) (1 2 ) 3! n 2! n n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
1 1 1 1 给定 , 由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
1 有 xn 1 , 1000
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R


正 6 2 n 1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
1 第一天剩下的杖长为 X 1 ; 2 1 第二天剩 下的杖长为 X 2 2 ; 2


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散
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例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证:
n (1) n 1 xn 1 n
1 只要 n 即 0 , 欲使 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 n n (1) 1 n
故
n (1) n lim xn lim 1 n n n
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数列极限的四则运算法则
若 lim xn A , lim yn B , 则有
n n
(1) lim ( xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
n
xn A lim (3) 当 yn 0 且 B 0时, n yn B
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(1) n 0 故 lim xn lim 也可由 xn 0 1 2 2 n n ( n 1) ( n 1) 说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 N 1 1 不一定取最小的 N . 1 故也可取 N [ ]
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k
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说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
限 , 则原数列一定发散 .
例如， 发散 !
k
lim x 2 k 1
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1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
2. N与任意给定的正数 有关.
( N )定义 :
lim xn a
n
0 , N 0, 当 n N , 有 x n a .
几何解释:
a x 2 x1 x N 1
2
a
xN 2
a
x3
x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内, 只有有限个(至多只有N个) 落在其外.

则有
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
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3. 收敛数列的保号性.
若 时, 有 且
( 0) ,
( 0) .
证: 对 a > 0 , 取
推论: 若数列从某项起
( 0)
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二、收敛数列的性质
1. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且 a b.
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时, 从而 xn a b 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
{2 } 1 { n} 2
n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{(1)
n 1
}
1 4 n ( 1) n1 2, , ,, ,; 2 3 n
n ( 1) n1 { } n
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
1 2 n! (1 1 ) (1 n ) (1 n1) n n 1 1 xn1 1 1 2! (1 n1 1) 3! (1 n1 1)(1 n2 1)
大 大
1 ( n1)! (1 n1 1)(1 n2 1)(1 nn 1)
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例2. 已知
证明
1 1 证: xn 0 2 (n 1) n 1 1 1 只要 (0 ,1) , 欲使 , 即 n 1. n 1 1 取 N [ 1] , 则当 n N 时, 就有 xn 0 ,
1 1 给定 , 只要 n 10000时, 有 x n 1 , 10000 10000 1 给定 0, 只要 n N ( [ ])时, 有 x n 1 成立.
定义
如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切x n ,
( 0) . (用反证法证明)
4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 若 是数列
的任一子数列 .
时, 有
则 0 , N , 当
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk
N
xN
*********************
N
从而有 x n a , 由此证明 lim x nk a . k
1 第n 天剩下的杖长为 X n n ; 2
1 Xn n 2
0
1 第一天截下的杖长为 X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长为 X 2 2 ; 2 2


1 1 1 第n天截下的杖长为 X n 2 n ; 2 2 2

1 Xn 1 n 2

1数列Βιβλιοθήκη 定义定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .
例如
2 , 4 , 8 , , 2 n , ;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
a 不等式 x n a 都成立,那末就称常数 是数列 a x n 的极限,或者称数列x n 收敛于 ,记为
lim x n a ,
n
或 x n a ( n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意：.不等式 x n a 刻划了x n与a的无限接近; 1
n
lim xn a ( M )
a
n
lim xn b ( m )
b
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例2. 设
极限存在 . 证: 利用二项式公式 , 有
证明数列
xn (1 1 ) n n
n1 1 1! n
n ( n1) 1 2! 2 n n ( n1)( n2) 1 3 3! n
1 2 3 n , 例如, , , , , 2 3 4 n 1 n xn 1 ( n ) n 1
收 敛
n (1) n1 xn 1 ( n ) n 2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
xn (1) n1 趋势不定