弹性力学：平板弯曲问题的有限元分析(1)

(9-3)
( x )z0
u ( x )z0
0,
( y )z0
(
y
)z0
0,
( xy )z0
(
y
u y )z0
0.
因此，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分， 但它在面上的投影形状却保持不变，(为什么？)
§9-２ 弹性曲面的微分方程
求解思路： 1. 按位移求解 2. 取挠度w w(x, y)作为基本未知函数， 3. 根据空间问题的基本方程和边界条件，以及三个假定，
的平板，且能承受横向或垂直于板面的载荷。如板不
是平板而为曲的(指一个单元)，则称为壳问题。如作
用于板上的载荷仅为平行于板面的纵向载荷，则称为
平面应力问题；如作用于板上的载荷为垂直于板面的
横向载荷，则称为板的弯扭问题，常简称板的弯曲问
题。
t1 ~ 1 b 80 100
1 ~ 1 t 1~1 80 100 b 5 8
(9-1)
z x z y
因此，中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，成为弹性曲 面的法线． (为什么？)
薄板的物理方程： (9-2)
矛盾之二：
x
1
x
( y
z )
x
1
( x
y ),
y
1
( y
x ),
xy
2(1
) xy.
c): 薄板中面内各点都没有平行于中面的位移．
(u)z0 0,
(v)z0 0
平板弯曲问题的有限元分析(1) Kirchhoff弹性薄板理论
参考文献： “弹性力学(下册)”第13章。徐芝纶
§9-1 有关概念及计算假定 §9-2 弹性曲面的微分方程 §9-3 薄板横截面上的内力 §9-4 边界条件 扭矩的等效剪力
§9-1 有关概念及计算假定
力学概念定义的板是指厚度尺寸相对长宽尺寸小很多
(9-6)
( z )z q
(f)
2
将(9-6)式代入薄板上板面的边界条件：
得：
E
12(1
3
2
)
4
w
q
(9-7)
或 D4w q， (9-8)
其中
D
E
12(1
3
2
)
(9-9)
薄板的弹性曲面微分方程
为薄板的弯曲刚度
§9-３ 薄板横截面上的内力
xy
v x
u y
2
2w xy
z.
曲率？
扭率？
（a）
广义应变？
(3) 由薄板的物理方程（9-2）得到主要应力分量的表达式：
用挠度表示：
(9-4)
x
E
1 2
( x
y )
1
Ez
2
(
2w x2
2w y 2
)
y
E
1 2
( y
x )
Ez
1 2
( 2w 2w )
y 2
x2
xy
E 2(1
其中，引用记号
2 x2 y2
x
x
yx
y
zx
z
fx
0
y
y
zy
z
xy
x
fy
0
z
z
xz
x
yz
y
fz
0
将上两式对z积分，得: (注意到 w 不是z的函数)
zx
z2 2(1 2 )
x
2w
F1 ( x,
y)
zy
z2 2(1 2 )
y
2w
F2 (x,
y)
根据薄板上，下板面的边界条件：( zx )z 0, ( zy )z 0.
z 0, w w(x, y)
因此：在中面的任一根法线上各点具有相同的横向位移，也就等
于挠度．
矛盾之一：
z
z
( x
E
y)
z ( x y )
b): 应力分量 xz , yz和 z 远小于其余３个应力分量，所引 起的变形可不计．
zx
u z
w x
0, yz
w y
z
0
u w , w
板面的面力中，一并用q表示，即：
q ( f ) ( f ) f d 2
zx
2(1 2 )
(z2
2 4
)
x
2w
将(9-5)式代入式(c),得， z 2(1 ) ( 4 z ) w zy
2(1 2 )
(z2
2 4
)
y
2w
z z 2
z z 2
z
z z 2
2 2
(d)
24
2
2
求出 F1(x, y), F2 (x, y)以后，即得：
zx
2(1 2 )
(z2
2
4
)
x
2 w
zy
2(1 2 )
(z2
2
4
)
y
2w
(9-5)
(5) 由平衡方程得：(取：体力fz 0)
z xz yz (c)
z
x y
如果 f z 不等于零，则薄板单位面积内体力面力都归于上
0, yz
w y z
0
应用假定(9-3)，得：
f1(x, y) 0, f2 ( x, y) 0. (u)z0 0,(v)z0 0
于是纵向位移表示为：u w z, w z.
x
y
(2) 把上式代入几何方程，得到主要应变量表达式；
x
u x
w2 x2
z,
y
v y
w2 y 2
z,
薄膜 t—厚度 几何条件？ 载荷条件？
薄板
t 1~1 b58
厚板 b—板长宽最小值
§9-1 有关概念及计算假定
薄板是厚度远小于板面尺寸的物体。
薄板的上下平行面称 为板面。 薄板的侧面，称为 板边。
平分厚度的面,称为中面。
钱伟长
钱学森
§9-1 有关概念及计算假定
1有关概念:
► 薄板: 板的厚度远小于中面 最小尺寸的板。
► 纵向荷载: 平行于中面
► 横向荷载: 垂直于中面
► 挠度: 中面各点在垂直中面 方向的位移.
► 薄板小挠度弯曲理论的研究 对象：很薄，但是仍然具有 相当的弯曲刚度，挠度远小 于厚度的薄板。
大挠度？ 厚板？
2 计算假定: “自相矛盾的”Kirchhoff 计算假定
a): 垂直于中面方向的线应变 z不计，取 z 0
4. 将其他未知函数u, v, x , y , xy , x , y , xy , xz , yz , z
分别用挠度w表示， 5. 导出求解挠度的方程
(1) 将纵向位移 u, v用挠度 w 表示.把式(9-1)对z积分，得
w y
z
f1 ( x,
y), u
w x
z
f2 (x,
y).
zx
u z
w x
对z积分，得到： z
2(1 2 )
2
( 4
z
z2 )4w 3
F3 (x,
y)
(e)
F3(x, y) 可由薄板下板面的边界条件 ( z )z 0 确定， 2
代入(e)得：
z
2(1 2 )
2
4
(z )
2
1 (z3 3
3
8
)
4
wFra Baidu bibliotek
1 6(1 2 ) (2
2 )2 (1 z )4w
)
xy
Ez
1
2w xy
(4)由平衡微分方程和边界条件得到次要应力分量的表达式：
考虑到不存在纵向载荷，fx 0
则有
fy 0
zx
z
x
x
yx
y
z 1 2
3w ( x3
3w
z
xy2 ) 1 2
2w x
zy
z
y
y
xy
x
1
z
2
(
3w y3
3w yx2
)
1
z
2
2w y