大学生数学竞赛非数试题及答案(供参考)

大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案

一、填空（每小题5分，共20分）.

(1)计算)

cos 1(cos 1lim 0x x x x

--+→= .

(2)设()f x 在2x =连续，且2

()3

lim

2

x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2)1

1(lim )(+=∞→，则=')(t f .

(4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '⎰= .

（1）

2

1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2

ln ln 2. 二、（5分）计算

dxdy x y D

⎰⎰

-2，其中

1010≤≤≤≤y x D ，：.

dxdy y x

x )(2

2

-<+

⎰⎰≥-2

2:2

)(x y D dxdy x

y -------- 2分

dy x y dx x

)(1

210

2⎰- -------------4分

分. 三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶

导数，求22dx

y d . )],2---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(2

222222x f x f x x f x f x '-''-----7分 姓名：

身份证号

所在院校：

年级

专业

线

封

密

写在其它纸上一律无效. .

=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(22

2

2

2

2

2

2

2

x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.

四、（15分）已知

3

1

23ln 0

=

-⋅⎰

dx e e a x x ，求a 的值. )23(23ln 0

x

a x e d e -----------3分 令t e x =-23，所以

dt t dx e e a

a

x x ⎰⎰

--

=-⋅231ln 0

2

123---------6分 =a t 231

2

33

2

21-⋅-------------7分

=]1)23([31

3--⋅-a ，-----------9分

由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ，故]1)23([313--⋅-a =31

，-----------12分

即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分

所以3

=a -------------15分.

五、（10分）求微分方程0=-+'x

e y y x 满

足条件e y

x ==1

的特解.

解：原方程可化为

x

e y x y x

=+'1-----------2分

这是一阶线性非齐次方程，代入公式得

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-

C dx e x e e y dx

x x

dx x 11----------4分

=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e e

x x x

ln ln ----------5分 =

[]

⎰+C dx e x x 1

-----------6分 =)(1C e x

x

+.---------------7分

所在院校：

年级：

专业：

线

封 密

所以原方程的通解是)(1C e x

y x

+=.----------8分 再由条件e y

x ==1

，有C e e +=，即0=C ，-----------9分

因此，所求的特解是x

e y x

=.----------10分.

六（10分）、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导

数，且123()()()f x f x f x ==，其中

123a x x x b <<<<，证明：在13(,)x x 内至少有一点ξ，使()0f ξ'=。

证：由于)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，所以)(x f 在],[21x x 上连续， 在),(21x x 内可导，再根据题意)()(21x f x f =，

由罗尔定理知至少存在一点∈1ξ),(21x x ，使)(1ξf '=0；--------3分 同理，在23[,]x x 上对函数)(x f 使用罗尔定理得至少存在一点),(322x x ∈ξ，使)(2ξf '=0；---------6分

对于函数)(x f '，由已知条件知)(x f '在[1ξ，2ξ]上连续，在（1ξ，2ξ）内可导，且)(1ξf '=)(2ξf '=0，由罗尔定理知至少存在一点∈ξ（1ξ，2ξ），使0)(=''ξf ，而1ξ，2ξ）),(31x x ⊂，故结论得证----------10分.

七、（15分）已知曲线，x

e y =x y sin =和直线

0=x ，1=x 围成平面图形D .

的面积A ；

（2）求D 绕x 轴旋转所成立体的体积. 解：（1）1

0(sin )x A e x dx =-⎰-----------2分

10(cos )x e x =+-----------4分

cos12e =+------------5分

（2）因为⎰=b

a

x dx x f V )(2π，-----------6分

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