优选1.平面的概念及表示

α .A .B
【练习】判断下列说法是否正确？
(1)三点确定一个平面; × (2)一个圆周上的三点可以确定一个平面;√
(3)如果两个平面有三个不共线的公共点,
那么这两个平面就重合; √
公理2 经过不共线的三点，有且只有一
个平面。
α
A.
.C .B
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，
有且只有一个平面。
图形语言 符号语言 文字语言(读法)
A· A·
A 点 A在 平 面 内
A 点 A 不 在 平 面 内
· A
a
b
a
b A
直线a、b相交 于点A
a
a 直 线 a在 平 面 内
图形语言
a
a
A·
符号语言 文字语言(读法)
直线a与平面
a// 无公共点
a A直线a与平面
相交于点A
l
平面、 相 l 交于直线l
②这是判断两个平面相交的依据.
β
图形表示：
α
P. l
公 理 3 P , 且 P l , 且 P l .
【练习】1. 判断下列说法是否正确？
(1)两个平面相交至少有两个公共点; √
(2)两个平面相交,它们只有有限个公共点;×
(3)过一条直线的平面有无数个; √
(4)两个平面的交线可能是一条线段; × (5)两个相交平面有不在同一直线上的公共点×;
C
A
B
推论2 经过两条相交直线，有且只有一
个平Leabharlann Baidu。
A
C
B
推论3 经过两条平行直线，有且只有一
个平面。
A CB
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共
点,那么它们有且只有一条过公共点的公共
直线
β
图形表示：
α
P. l
公 理 3 P , 且 P l , 且 P l .
说明：
①这条公共直线叫做这两个平面的交线, 称这两个平面相交, 记作α∩β= l .
1.平面的概念及表示
一、平面的特征 “平面”是最基本的几何概念，对它只能 描述而不加定义。
特点：“平”,“无限伸展”,“无大小”,“无厚
薄【”练习】判断下列说法是否正确？
(1)平行四边形是一个平面. × (2)一个平面的面积是100cm2. × (3)两个平面叠在一起比一个平面厚×. (4)一个平面把空间分成了两部分. √
D
C
α
A
B
2字母表示：(注意:“平面”二字不能省略) ①用希腊字母α,β,γ…来表示;例:平面α
②用图形的顶点字母来表示;例:平面ABCD;
③用平行四边形的一条对角线的顶点字母来 表示;例:平面AC;
长方体是我们非常熟悉的空间几何图 形，有8个顶点，12条棱，6个面。你能发 现图中的点、线、面之间有哪些位置关系 呢？请举例说明.
(6)两个平面有无数个公共点,则它们重合。×
判断题：
（1）经过空间中一个点和一条直线只能作一个平
面。
（╳ ）
（2）若平面和有一条公共直线L和一个公共点P，
则PL ；
(√ )
（3）三条直线两两相交，则它们在同一个平面内
（╳ ）
（4）三条直线两两平行，则它们在同一个平面内
（╳ ）
（5）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面
二、平面的表示方法
β
β
α
P. l
α
α
1几何表示：一般用平行四边形表示;但在特 殊情况下,也可以用三角形或其它图形来表示.
注意：(1)当平面水平放置时，通常把平行 四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的 2倍长；
(2)画直线与平面或平面与平面相交时，被 遮挡的部分画成虚线或不画。
二、平面的表示方法
重合
（╳ ）
二 、选择题
1．经过同一条直线上三个点的平面 （ C ）
A 有且只有1个 B 有且只有3个
C 有无数个
D 只有0个
2．直线a、b、c两两平行，但不共面，经过其中
两条直线的平面共有（ B ）
A 1个
例1、如图，用符号表示下列图形中点、 直线、平面之间的位置关系
α lβ
a
α a
l
B
β
A
b
解 :在 ( 1 ) 中 , l ,a A ,a B 在 (2)中 ,l,a,b,
laP,lbP
四、练习: 1.将下列文字语言转化为符号语言：
(1)点A、B在直线a上； Aa,Ba
(2)点C在平面α内； C
D1
C1
A1 B1
D A
C B
例2 三个平面可以将空间分为多少部分？
β
β
B
B
l
l
α
α
α
β
A
A
4或6或7或8部分
作业：P51 1、2、8
平面
P51 作业
C
D
1. l
A
B
2
A
A
B
B
8.解:共分为:3×9=27部分.
观察下图，你能得到什么结论？
桌面
B
A
观察下图，你能得到什么结论？
桌面
B
A
A
B l
公理2：过不在一条直线上的三点，有且
只有一个平面. .C
图形表示：
α .A .B
说明：
①可以叙述为:不共线的三点确定一平面；
②这是确定一个平面的依据; ③“有且只有”和“确定”的含义包括两方 面,一是存在性,二是唯一性;
④这三点必须是不共线的;
公理2：过不在一条直线上的三点，有且
只有一个平面.
.C
观察下图，你能得到什么结论？
桌面
B
A
公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).
A
B l
一、平面的基本性质
公理1：如果一条直线 的两点在一个平面内,
A
B
那么这条直线上的所有 α
点都在这个平面内.
图形表示
公 理 1 A l ,B l ,且 A ,B l .
D1 A1
C1 B1
D A
C B
三、点、线、面的基本位置关系的符号表示
从运动的观点看，点动成线，线动成 面，从而可以把直线、平面看成是点的集 合，因此它们之间的关系亦可借用集合中 的符号来表示。
图形语言 符号语言 文字语言(读法)
·A
a A∈ a 点A在直线a上
·A a A a 点A不在直线a上
(3)直线a在平面α内； a
(4)点O不在平面α内； O (5)直线b不在平面α内； b
A ,
(6)点A在平面α内，但不在平面β内； A
(7)直线a经过平面α外一点M；Ma,M
(8)直线l在平面α内，又在平面β内l。,l
长方体是我们非常熟悉的空间几何 图形.你能发现图中的点、线、面之间 有哪些位置关系呢？
说明：
①也叫做直线在平面内或平面经过直线。
②这是判断一条直线是否在平面内的依据
③用图形表示时,表示直线的线段一定要画 在表示平面的平行四边形内部.
观察下图，你能得到什么结论？
B
A
C
观察下图，你能得到什么结论？
B
B
A
C
A
C
观察下图，你能得到什么结论？
B
B
A
C
A
C
公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.