第二章数学基础

第一节 统计学基础 第二节 线性代数基础 第三节 回归与分析
一、平均数、标准差与变异系数 二、显著性检验 三、方差分析 四、协方差分析
（一）平均数：算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，
简称平均数或均数，记为 或加权法计算。
。算术平x 均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法
相应的总体参数叫总体方差，记为σ2。对于有限总体而言， 2 (x )2 / N
统计学上把样本方差S2的平方根叫做样本标准差，记为S ：
S
(x x)2
x2
( x)2
n
n 1
n 1
相应的总体参数叫总体标准差，记为σ 。在统计学中，常用样本标准 差S估计总体标准差σ。
在样本服从正态分布的条件下，资料中约有68.26%的观测值在平均数 左右一倍标准差（±S）范围内；约有95.43%的观测值在平均数左右 两倍标准差（±2S）范围内；约有99.73%的观测值在平均数左右三倍 标准差（±3S）范围内。也就是说全距近似地等于6倍标准差
5、调和平均数（harmonic mean）：各观测值倒数的算术平均数的倒 数，称为调和平均数，记为H。
平均值只能反映效应的平均高低，而变异程度是另一个衡量效应的重 要指标。
极差和离均差不能全面反映变异程度，后者有正负号，离均差之和为 0。
离均差平方和除以自由度得到均方（mean square缩写为MS）,又称样 本方差，记为S2。S2= (x x)2 / n 1
当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数 的无偏估计量。统计学中常用样本平均数作为总体平均数（μ）的估计量，并已 证明样本平均数 是总体平均数μ的无偏估计量。
1、算术平均数（arithmetic mean）：
直接求算法和加权平均值法
2、中位数（median）:将资料内所有观测值从小到大依次排列，位于中间的那个 观测值，称为中位数，记为Md。当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值
的平均数作为中位数。中位数简称中数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中
位数的代表性优于算术平均数。
3、众数（mode）：出现次数最多的那个观测值或次数最多一组的组 中值，称为众数，记为M0。
4、几何平均数（geometric mean）： n个观测值相乘之积开n次方所 得的方根，称为几何平均数，记为G。
（2）
假设检验的依据——小概率原理：小概率事件在一
次试验中实际上不会发生。
（3） 假设检验的思路是概率性质的反证法。即首先假设 成立，然后根据一次抽样所得的样本值得信息，若导致小概
率事件发生，则拒绝原假设，否则接受原假设。
1、假设检验程序 ⑴ 根据题意提出零假设H0（或相应备选假设H1）。 ⑵构造样本统计量并确定其分布；
（一）t-检验的基本步骤： 1）首先对试验样本所在的总体作假设，无效假设（null
h设yp，ot通he过si检s）验,可记能作被H接0：受，1也2可或能被1-否2定=。0。否无定效时假可设提是出被备检择验假的设假 （alternative hypothesis）,记作HA：1≠2或1-2≠0； 2）在无效假设成立的前提下，构造合适的统计量，并研究试验所得 统计量的抽样分布，计算无效假设正确的概率，继而查表找出其概率。
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S x1x2
(x1 x1 )2 (x2 x2 )2 ( 1 1 )
(n1 1) (n2 1)
n1 n2
在t-检验中，备择假设 包括了 1 > 或 < 2两种可能。
双侧t-检验：在 水平上否定域为 ,t 和 t ,， 对称地分配在t分
布曲线的两侧尾部，每侧的概率为 /2，这种利用两尾概率进行 的检验叫双侧检验（two-sided test），也叫双尾检验（two-tailed test）, 为双侧检验的临界t值。 单侧t-检验：这种利用一侧概率进行的检验叫单侧检验（onesided test）也叫单尾检验（one-tailed test）。此时 为单侧检验的 临界t值。显然，单侧检验的t =双侧检验的 t2 。
变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个 资料变异程度比较的影响。
变异系数的计算公式为：
C V S 100% x
对总体分布或分布中的某些参数作出假设，然后利用样本的 观测值所提供的信息，检验这种假设是否成立，这一统计推 断过程，称为假设检验。
（1）待检验假设或零假设记为H0，正在被检验的与相对立的 假设H1称为备选假设或对立假设。
变异系数：变异系数是衡量资料中各观测值变异程度的另 一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时， 如果度量单位与平均数相同，可以直接利用标准差来比较。 如果单位和（或）平均数不同时，比较其变异程度就不能 采用标准差，而需采用标准差与平均数的比值（相对值）
来比较。标准差与平均数的比值称为变异系数，记为CV。
⑶给定显著性水平，查表确定临界值，从而得出接受域 和拒绝域；
⑷由样本观测值计算出统计量的值； ⑸作出判断：若统计量的值落入拒绝域则拒绝H0，若统计
量的值落入接受域则接受H0。 2、假设检验的主要方法有： Z检验法、t检验法、c2检验法、F检验法。
以样本平均数作为检验对象，由两个样本平均数差异的大小去推断样 本所属总体平均数是否相同是有其依据的。
3）根据“小概率事件实际不可能性原理”否定或接受无效假设，根 据这一原理，当试验的表面效应是试验误差的概率小于0.05时，可以 认为在一次试验中试验表面效应是试验误差实际上是不可能的，因而 否定原先所作的无效假设 ： 1=2 ，接受备择假设 ：1 ≠2 ，即认 为：试验的处理效应是存在的。
t x1 x2 S x1x2
平均数的基本性质:(1)样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于 零。(2)样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。
<
n
n
(xi x)2
(x i - )
i 1
i 1
对于总体而言，通常用μ表示总体平均数，有限总体的平均数为：
n
xi N
i 1
式中，N表示总体所包含的个体数。