小学数学立体几何专项练习
小学数学空间观专项练习
9．如图中的正方体，用两个平面去截这个正方体，请你在这个正立方体的展开图中画出相应的截线．
9．有8个表面涂满绿漆的正方体，其棱长分别为7，9，11，…，21，若把这些正方体全部锯成棱长为1的小正方体，在这些小正方体中，有______个至少是一面有漆
1．一个正方体的六个面分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，从三个不同角度看正方体如图所示，那么标有数字2的对面是数字几？
1．如果1个小正方体木块的表面积是24平方厘米，那么由512个这样的小正方体木块所组成的一个大正方体的体积是多少立方厘米？
1．有一个棱长是10厘米的正方体木块，在它的上、左、前三个面中心分别穿一个3厘米见方的孔，直至对面．求穿孔后木块的体积．
3．将1个棱长是5厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可以分割成______个小正方体．9．把一个大长方体木块表面涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中只有两个面涂上红色的小正方体恰好是16块，那么至少要把这个大长方形分割成______个小长方体．
3．如图，将它折成一个正方体，相交于同一顶点的三个面上的数之和最大是______．
10．把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中只有两个面是红色的小长方体恰好是12块，那么至少要把这个大长方体分割成_______个小长方体．
7．用43个边长1厘米的白色小正方体和21个边长1厘米的黑色小正方体堆成如图所示的大正方体，使黑色的面向外露的面积要尽量大．那么这个立方体的表面积上有______平方厘米是黑色的．
8．一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所示．它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米，瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米，则瓶内酒精体积是______立方厘米．
4．如图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，则剩下的体积是原正方体的百分之______（保留一位小数）．
7．如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，则所得物体的表面积为______．
4．（1）图（1）是一个表面涂满了红颜色的立方体，在它的面上等距离地横
竖各切两刀，共得到27个相等的小立方块．问：在这27个小立方块中，三面红色、两面红色、一面红色，各面都没有颜色的立方块各有多少？
（2）在图（2）中，要想按（1）的方式切出120块大小一样、各面都没有颜色的小立方块，至少应当在这个立方体的各面上切几刀（各面切的刀数一样）？
（3）要想产生53块仅有一面涂有红色的小方块，至少应在各面上切几刀？
6．如图中，能看到的方砖有______块，看不到的方砖有______块．
2020高考数学专题复习----立体几何专题
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 数学必修二第一章《立体几何初步》单元练习 一、选择题 1．线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是 A ．α?A B B ．α?AB C ．由线段AB 的长短而定 D ．以上都不对 2．下列说法正确的是 A ．三点确定一个平面 B ．四边形一定是平面图形 C ．梯形一定是平面图形 D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3．垂直于同一条直线的两条直线一定 A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．以上都有可能 4．右图是一个实物图形，则它的左视图大致为 （ ） 5．若直线//l 平面α，直线α?a ，则l 与a 的位置关系是 A ．a l // B ．l 与a 异面 C ．l 与a 相交 D ．l 与a 没有公共点 6．下列命题中： （1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．在空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取H G F E ,,,四点，如果与 GH EF ,能相交于点P ，那么 A ．点P 不在直线AC 上 B ．点P 必在直线BD 上 C ．点P 必在平面ABC 内 D ．点P 必在平面ABC 外 8．c b a ,,表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若M a //，M b //，则b a //；②若,//,b a M b ?，则M a //；③若c b c a ⊥⊥,，则b a //；④若M a ⊥，M b ⊥，则b a //；其中正确命题的个数有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 高中数学《立体几何》练习题 1．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( ) A.12 B.24 C.62 D.122 2．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 3．如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论错误．． 的是 A ．P D DC 11⊥ B ．平面⊥P A D 11平面AP A 1 C ．1AP D ∠的最大值为090 D ．1PD AP +的最小值为22+ 4．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m 3. 5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于 . 6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是____________ 7．如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞F E D ,,，且知 1:2:::===FS CF EB SE DA SD ，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 . 8．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝ 12 PD. (1)证明：PQ ⊥平面DCQ ； (2)求棱锥Q -ABCD 的体积与棱锥P -DCQ 的体积的比值．[来 9．如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠=． （1）求证://BCF AED 平面平面. （2）若,BF BD a A BDEF ==-求四棱锥的体积。 10．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点． (1) 求证：PC AD ⊥； (2) 求证：//FG 平面BCP ； S F C B A D E 2015届高三数学（文）立体几何训练题 1、如图3，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点． ⑴求证：平面PAC ⊥平面PBC ； ⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P -ABC 的体积． 2、如图，已知P A ?⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC =P A ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF 3、如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1?底面ABCD ，且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6，且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . （1）证明：EC D A 111A ABB 4、如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AA 1＝AB ＝2a ，D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点． （1）求证：DE ∥平面ABC ； （2）求证：AE ⊥BD ； （3）求三棱锥D —A 1BA 的体积 ． 5.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ， 将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F F E A （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体CDFN 体积的最大值． 6、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ，AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC （Ⅰ）求证：D E ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P ABC -的体积为8，求多面体ABCED 的体积。 7、如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点， 且AB AF 3 1 =，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -的体积． 8、如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =，现将四边 形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ； 2020高考数学之立体几何解答題23題 一．解答题（共23小题） 1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点． （Ⅰ）求证：AN∥平面MEC； （Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由． 2．如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2 的菱形，AC⊥CB，BC=1． （Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC； （Ⅱ）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小． 3．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°． （I）求点P到平面ABCD的距离， （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小． 4．在正三棱锥P﹣ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值． 5．如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知． （1）求证：B1C1⊥平面OAH； （2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小． 6．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形． （1）求证：AD⊥BC． （2）求二面角B﹣AC﹣D的大小． （3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由． 《立体几何初步》测试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分） 1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 若a ∥b ，A c b =?，则c a ,的位置关系是（ ） A.异面直线 B.相交直线 C.平行直线 D.相交直线或异面直线 3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．顶角为30°的等腰三角形 D ．其他等腰三角形 4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ） A 48 B 64 C 96 D 192 5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 6. 已知正方体外接球的体积是323 π，那么正方体的棱长等于 （ ） A 3 C 3 3 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n B ．若,l αβα⊥?，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m 8. 如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1A A ，A B ，1B B ，11B C 的中点，则异面直线E F 与 G H 所成的角等于（ ） Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120° 9. 已知两个平面垂直，下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面； ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 10. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ） A.α内有无穷多条直线与β平行； B.直线a//α,a//β C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 直观图（如右图）中，四边形O ′A ′B ′C ′为 菱形且边长为2cm ，则在xoy 坐标中四边形ABCD 为 _ ____，面积为______cm 2． 12. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿 长方体的表面爬到C 1点的最短距离是 ． 13. 已知直线b//平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 . 14. 正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿ 15. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=?90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形 16. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：（1）AC ⊥BD ； （2）△ACD 是等边三角形 （3）AB 与平面BCD 所成的角为60°；（4）AB 与CD 所成的角为60°。 其中正确结论的序号为＿＿＿＿ 三、解答题（本大题共4小题，共60分） 17.（10分）如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC A F D B C G E 1B H 1C 1D 1 A A B C P D'C' B' A'O' Y'X' 2020届高三数学立体几何专题(文科) 吴丽康2019-11 1、如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,P A⊥平面ABCD,E为PD的点、(Ⅰ)证明:PB // 平面AEC; 3, (Ⅱ)设AP=1,AD=3,三棱锥P-ABD的体积V= 4 求A点到平面PBD的距离、 2、如图,四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB＝2CD,E为PB的中点. (1)求证:CE∥平面P AD; (2)在线段AB上就是否存在一点F,使得平面P AD∥平面CEF？ 若存在,证明您的结论,若不存在,请说明理由. 3如图,在四棱锥P －ABCD 中,平面P AC ⊥平面ABCD ,且P A ⊥AC ,P A ＝AD ＝2, 四边形ABCD 满足BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AB ＝BC ＝1、点E ,F 分别为侧棱PB ,PC 上的点, 且 PE PB ＝PF PC ＝λ(λ≠0). (1)求证:EF ∥平面P AD ; (2)当λ＝1 2时,求点D 到平面AFB 的距离. 4、如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 就是正方形. (1)证明:平面A 1BD ∥平面CD 1B 1; (2)若平面ABCD ∩平面B 1D 1C ＝直线l ,证明:B 1D 1∥l 、 5、、如图,四边形ABCD就是平行四边形,点P就是平面ABCD外一点, M就是PC的中点,在DM上取一点G,过G与AP作平面交平面BDM于GH、求证:AP∥GH、 6、如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC＝60°,P A＝AB＝BC,E就是PC的中点. 证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE、 高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个平 面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C 必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (64) 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的 半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为() A. 7π B. 9π C. 11π D. 13π 2.如图，棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点 P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值 为 A. 2√2 B. √10 C. √11 D. √12 3.在三棱锥P?ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1 2 PB=1，Q是棱BC上一个动点，若直线 AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为√5 2 ，则该三棱锥外接球的表面积为() A. 6π B. 7π C. 8π D. 9π 4.已知正三棱锥S?ABC的侧棱长为4√3，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的体积是() A. 16π B. 64 3π C. 64π D. 256 3 π 5.在三棱锥A?BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A?BD?C的平面 角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为() A. 7π B. 8π C. 16π 3D. 28π 3 6.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面 直线DE与B1C所成角的大小为()度． A. 60 B. 45 C. 30 D. 15 7.如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，AA1= AC=CB，则直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值是() A. 1 2 B. √2 2 C. √3 2 D. √3 3 8.在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=60°，3AB2+4BD2=24，若将△ABD沿BD折起 成直二面角A?BD?C，则三棱锥A?BDC外接球的表面积是() A. 4π B. 5π C. 6π D. 8π 9.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部 的凹凸部分(即榫卯结钩)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁表面涂色，则需要涂色的面积为() A. 72 B. 96 C. 102 D. 108 10.已知A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在平面ABC 上的射影为△ABC的中心，E为线段AD的中点，若BD⊥CE，则球O的表面积为 A. 36π B. 42π C. 54π D. 24√6π 11.《九章算术》中的堤(两底面为等腰梯形的直四棱柱)上、下两底平行，而对于上、下两底不平 行的堤防，唐代数学家王孝通把它分解成一个堤与一个羡除(注：羡除是指三个侧面为等腰梯形，其他两面为三角形的五面体)，且其体积等于堤与羡除的体积之和金元治河著作《河防通议》给 出了上、下两底不平行的堤防的体积公式V=l 6[(2?1+?2)(a+b1) 2 +(2?2+?1)(a+b2) 2 ]，其中a为两头上 广(等腰梯形的上底长)，l为长(下底面等腰梯形的腰长)，?1，?2分别为两头之高(等腰梯形的高 立体几何主观题专项练习 1．[2019·广东潮州期末]如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，CD ＝2AB ＝2CE ＝4，DE ＝25，点F 为棱DE 的中点． (1)证明：AF ∥平面BCE ； (2)若BC ＝4，∠BCE ＝120°，求三棱锥B －CEF 的体积． 解析：(1)取CE 中点M ，连接MF ，MB . 因为F 为DE 中点，所以MF ∥CD ，且MF ＝12CD . 因为AB ∥CD ，且AB ＝1 2CD ，所以AB ∥MF 且AB ＝MF ， 所以四边形ABMF 是平行四边形，所以AF ∥BM . 又BM ?平面BCE ，AF ?平面BCE ，所以AF ∥平面BCE . (2)因为AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，所以CD ⊥BC . 因为CD ＝4，CE ＝2，DE ＝25，所以CD 2 ＋CE 2 ＝DE 2 ，所以CD ⊥CE . 因为BC ∩CE ＝C ，BC ?平面BCE ，CE ?平面BCE ，所以CD ⊥平面BCE ， 则易知点F 到平面BCE 的距离为2. S △BCE ＝1 2BC ·CE sin∠BCE ＝12 ×4×2sin 120°＝23， 所以三棱锥B －CEF 的体积V B －CEF ＝V F －BCE ＝13S △BCE ×2＝13×23×2＝43 3 . 2．[2019·清华自招]如图，EA ⊥平面ABC ，AE ∥CD ，AB ＝AC ＝CD ＝2AE ＝4，BC ＝23， M 为BD 的中点． (1)求证：平面AEM ⊥平面BCD ； (2)求三棱锥E －ABM 的体积． 解析：(1)如图所示，取BC 的中点N ，连接MN ，AN ， 则MN ＝1 2DC ＝AE ，MN ∥CD ∥AE ，所以四边形AEMN 为平行四边形． 因为EA ⊥平面ABC ，AN ?平面ABC ， 所以EA ⊥AN ，所以四边形AEMN 是矩形，所以EM ⊥MN . 由题意可得ED ＝EB ＝25，因为M 为BD 的中点，所以EM ⊥BD . 又EM ⊥MN ，BD ∩MN ＝M ，所以EM ⊥平面BCD . 因为EM ?平面AEM ，所以平面AEM ⊥平面BCD . (2)由题可知，V 三棱锥E －ABM ＝V 三棱锥M －ABE ，因为MN ∥AE ，AE ?平面ABE ，MN ?平面ABE ，所以 MN ∥平面ABE ， 连接NE ，则V 三棱锥M －ABE ＝V 三棱锥N －ABE ＝V 三棱锥E －ABN ＝1 3×S △ABN ×AE . 易得BN ＝3，AN ＝13，所以S △ABN ＝12×BN ×AN ＝39 2， 所以V 三棱锥E －ABM ＝13×392×2＝39 3 . 3．[2019·河南洛阳第一次统考]如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB ∥CD ，△PAD 是等边三角形，已知AD ＝2，BD ＝23，AB ＝2CD ＝4. (1)设M 是PC 上一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD . (2)求四棱锥P －ABCD 的体积． 解析：(1)在△ABD 中，AD ＝2，BD ＝23，AB ＝4，所以AD 2 ＋BD 2 ＝AB 2 ，所以AD ⊥BD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以BD ⊥平面PAD . 又BD ?平面MBD ，所以平面MBD ⊥平面PAD . （2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的 垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同 理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE （2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.) 立体几何测试卷 班级 姓名 学号 一、选择题： 1．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） （A ）30 （B ）45 （C ）60 （D ）75 2．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm 、4cm 、3cm ,把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 （ ） （A ）cm 77 （B ）cm 27 （C ）cm 55 （D ）cm 210 3．等边三角形ABC 的边长为4，M 、N 分别为AB 、AC 的中点，沿MN 将AMN ?折起，使得面AMN 与面MNCB 所成的二面角为30 ，则四棱锥A —MNCB 的体积为（ ） （A ） 2 3 （B ）23 （C ）3 （D ）3 4．若二面角βα--l 为120 ，直线m α⊥,则β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是 （ ） （A ）(] 90,0 （B ）[ ] 60 ,30 （C ）[] 90,60 （D ）[] 90,30 5．关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是 （ ） （A ）若a // M,b // M,则a // b （B ）若a // M,b ⊥a,则b ⊥ M （C ）若a ,,M b M ??且l b l a ⊥⊥,则M l ⊥ （D ）若,//,N a M a ⊥则N M ⊥ 6．棱长为a 的正方体中，连接相邻的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） （A ）33a （B ）43a （C ）63a （D ）12 3 a 7．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） （A ）3π （B ）4π （C ）π33 （D ）6π 8． 已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （A ）22 R π （B ） 249R π （C ）238R π （D ）22 5 R π 9．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ） （A ）βα、都垂直于平面γ （B ）α内存在不共线的三点到β的距离相等 高三文科数学专题立体几何 1. （2013汕头二模）设I、m是不同的两条直线, 题中为真命题的是（） A ?若I ,，则I// C .若I m, // ,m ，则1 【答案】D 【解析】T I ,// ,?- I ,- .■ m D .若I , // ,m ，则I m 2. （2013东城二模）给出下列命题： ①如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n—定不相交； ②如果不同直线m、n都垂直于平面，则m、n—定平行； ③如果平面、互相平行，若直线m ，直线n ，则m//n ； ④如果平面、互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m 则n 则真命题的个数是（） A . 3 B . 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】只有②为真命题. 3. 设I为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若I // ,I// ，贝U // B.若1 ,I ，则// C .若1 ,I// ，贝U // D .若,I// ，则I 【解析】B 4. (2013 东莞 -模）如图，平行四边形ABCD 中，CD 1, BCD 60，且BD CD ,正方形ADEF和平面ABCD垂直，G, H是DF ,BE的中点. （1）求证：BD 平面CDE ; （2）求证：GH //平面CDE ; （3）求三棱锥D CEF的体积. C 是不重合的两个平面，则下列命 B.若I// , ，则I// 【解析】（1）证明：平面 ADEF 平面ABCD ，交线为AD , ?/ ED AD , ? ED 平面 ABCD , ?- ED BD ? 又 BD CD , ?- BD 平面 CDE . (2) 证明：连接 EA ，则G 是AE 的中点, ??? EAB 中，GH//AB , 又 AB//CD , ? GH // CD , ? GH // 平面 CDE ? (3) 设Rt BCD 中BC 边上的高为h ， 是棱PA 上的动点. (1) 若Q 是PA 的中点，求证: PC // 平面BDQ CQ ； (2) PC , PB PD ，求证：BD 解析：证明：（1）连结AC ，交BD 于O ,如图: 若 PB 3, ABC 60°，求四棱锥P ABCD 即：点C 到平面 DEF 的距离为 … V D CEF V C DEF _3 2 _3 3 5.（2013丰台二模）如图所示，四棱锥P ABCD 中, 底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 第六章 立体几何初步§6.1 两条直线之间的位置关系一、知识导学平面的基本性质.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 2.空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 异面直线.异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离. 5. 反证法.会用反证法证明一些简单的问题. 二、疑难知识导析 1．异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面. 2．异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围. 3．异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交， 4．异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线. 5．异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b α?,A α∈且A b ?,a A =?α,则a 与b 异面. 三、经典例题导讲[例1]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别 是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM( ). A .是AC 和MN 的公垂线. B .垂直于A C 但不垂直于MN. C .垂直于MN ，但不垂直于AC. D .与AC 、MN 都不垂直. 错解:B. 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影. 正解：A. [例2]如图，已知在空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD 的中点， G,H 分别是BC,CD 上的点,且2==HC DH GC BG ,求证:直线EG,FH,AC 相交于一点. 错解：证明：E Θ、F 分别是AB,AD 的中点, 立体几何知识点整理（文科） 一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 l 符号表示： 2. 线面相交 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 二．平行关系： 1.线线平行： 方法一：用线面平行实现。 方法二：用面面平行实现。 方法 用线 直实 现。 若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 方法四：用向量方法： 若向量和向量共线且l、m不重合，则m l//。 2.线面平行： 方法一：用线线平行实现。 方法二：用面面平行实现。 方法三：用平面法向量实现。 若n为平面α的一个法向量，l n⊥且α ? l,则 α // l。 3.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 方法二：用线面平行实现。 三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 3.线线垂直： 方法一：用线面垂直 实现。 方法二：三垂线定理及其逆定理。 方法三：用向量方法： 若向量和向量的数量积为0，则m l⊥。 三．夹角问题。 (一)异面直线所成的角： (1) 范围：] 90 , 0(? ? (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理： (计算结果可能是其补角 ) θ c b a l 方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)： (二) 线面角 (1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 (2)范围：]90,0[?? 当?=0θ时，α?l 或α//l 当?=90θ时，α⊥l (3)求法： 方法一：定义法。 步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。 (三) 二面角及其平面角 (1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。 (2)范围：]180,0[?? (3)求法： 方法一：定义法。 步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。 步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面βα和，则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。 方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。 步骤一：计算121212 cos n n n n n n ?= ? 步骤二：判断θ与12n n 的关系，可能相等或者互补。 四．距离问题。 1．点面距。 方法一：几何法。 步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。 步骤2：计算线段PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法) 2．线面距、面面距均可转化为点面距。 3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。 如图，m 和n 为两条异面直线，α?n 且α//m ， 则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。 方法二：直接计算公垂线段的长度。 方法三：公式法。 如图，AD 是异面直线m 和n 的公垂线段， '//m m ，则异面直线m 和n 之间的距离为： 高考题典例 考点1 点到平面的距离例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离．考点2 异面直线的距离 A B C D O F 专题五 立体几何 第一讲 空间几何体 1．棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形． (2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． 2．三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． 3．几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长． (2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何 问题． 4．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积 S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )； ③圆台的表面积S ＝π(r ′2 ＋r 2 ＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2 . (2)体积公式 ①柱体的体积V ＝Sh ； ②锥体的体积V ＝1 3 Sh ； ③台体的体积V ＝1 3(S ′＋SS ′＋S )h ； ④球的体积V ＝43 πR 3 . 1． (2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( ) A ．4 B.143 C.16 3 D ．6 答案 B 解析 由三视图知四棱台的直观图为 由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝14 3. 2． (2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( ) 2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 . 3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D 5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P 必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (36) 一、选择题（本大题共3小题，共15.0分） 1.正三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长AB=，侧棱长AA1=2，则该棱柱的外接球表面积等于 () A. 20π B. 24π C. 8π D. 12π 2.某正四面体的外接球与内切球的表面积之差为12π，则该正四面体的棱长为() A. 2√3 B. 4 C. 2 D. 3 3.已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注 水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的7 8 时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于() A. 2π 3B. 4π 3 C. 7π 6 D. π 2 二、填空题（本大题共12小题，共60.0分） 4.在四棱锥P?ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD=3.若 四棱锥P?ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为______；当四棱锥P?ABCD的体积取得最大值时，二面角A?PC?D的正切值为______． 5.如图是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案由一连串如图所示的直角三角形演化而 成，设其中的第一个直角△OA1A2是等腰三角形，且A1A2=A2A3=?=A n A n+1=1，则OA2=√2，OA3=√3，…OA n=√n，现将△OA1A2沿OA2翻折成△OPA2，则当四面体OPA2A3体积最大时，它的表面有__________个直角三角形；当PA3=1时，四面体OPA2A3外接球的体积为__________．数学必修二第一章《立体几何初步》单元练习
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