基本积分公式

§5.3基本积分公式

重点与难点提示

基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式.

因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.

(1) （5.6 ）

(2) ( 5.7 )

(3) ( 5.8 )

(4) ( 5.9 )

(5) ( 5.10 )

(6) ( 5.11 )

(7) ( 5.12 )

(8) ( 5.13 )

(9) ( 5.14 )

(10) ( 5.15 )

(11) ( 5.16 )

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.

公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.

公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.

当时，，

积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.

特别当时，有.

当时，

公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为

，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.

当时，有.

是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用

的公式不同.

公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.

公式（10）是一个关于无理函数的积分

公式（11）是一个关于有理函数的积分

下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.

例1 求不定积分.

分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.

解：

（为任意常数）

例2 求不定积分.

分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

解：由于，所以

（为任意常数）

例3 求不定积分.

分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解：

(为任意常数)

例4 求不定积分.

分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.

解：

（为任意常数）例5 求不定积分.

分析：基本积分公式表中只有

但我们知道有三角恒等式：

解：

（为任意常数）同理我们有：

（为任意常数）

例6

（为任意常数）