三种方法求椭圆轨迹

3、求点的轨迹方程：
（1）定义法：
用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件（已知两焦点
的距离或坐标）转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义产生椭圆的基本量a ，b ，c .
例题： 如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的
垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程．
连接AQ ，
∵直线AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q
∴|AQ|＝|PQ|，∴|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝6（＞
|AB|），
∴由椭圆的定义可知：
点Q 的轨迹为以A 、B 为焦点的椭圆，
且2a ＝6,2c ＝4
∴a=3，c=2
∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 2
5
＝1. 跟踪训练：
已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．
如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ，∴|PB|＝r.
又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10，
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r ，
即|PA|＋|PB|＝10(＞|AB|)．
∴由椭圆的定义可知：
点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆．
∴2a ＝10,2c ＝|AB|＝6
∴a=5，c=3
∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.
∴点P 的轨迹方程为x 225＋y 2
16
＝1.6.
（2）相关点法：
当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为 (1)设点：设所求轨迹上动点坐标P (x ，y )，已知曲线上动点坐标Q (x 1，y 1)．
(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎨⎧ x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y )，
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．
例题：
如图，在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当 点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？
设点M 的坐标为(x ，y)，点P 的坐标为(x 0，y 0)，
则x ＝x 0，y ＝y 02
. ∵点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，
∴x 20＋y 20＝4.①
把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①，
得x 2＋4y 2＝4，即x 24
＋y 2
＝1. ∴点M 的轨迹是一个椭圆．
跟踪训练：
如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD
上一点，且|MD |＝45
|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型．
设M 点的坐标为(x ，y)，P 点的坐标为(x P ，y P )，
由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧ x P ＝x y P ＝54y ，
∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫54y 2＝25， 即轨迹C 的方程为x 225＋y 2
16＝1.该曲线表示椭圆．
（3）直接法：
例题：
如图，设点A ，B 的坐标分别为(－5,0)，(5,0)．直线AM ，BM 相交于点M ，
且它们的斜率之积是－49
，求点M 的轨迹方程．
设点M 的坐标为(x ，y )，
∵点A 的坐标是(－5,0)，
∴直线AM 的斜率k AM ＝y
x ＋5 (x ≠－5)；
同理，直线BM 的斜率k BM ＝
y x －5(x ≠5)． 由已知有y x ＋5×y x －5＝－49
(x ≠±5)， 化简，得点M 的轨迹方程为x 225＋y 2
100
9＝1 (x ≠±5)．
例题变式：
若将例题中的－49
改为a (a <0)，曲线形状如何？ 设点M (x ，y )，则
y x ＋5·y
x －5＝a (x ≠±5)． 化简得，y 2－25a ＋x 225
＝1 (x ≠±5)． (1)当a ＝－1时，曲线表示圆x 2＋y 2＝25 (x ≠±5)，去掉两点(±5,0)．
(2)当a ≠－1时，曲线表示椭圆，去掉两点(±5,0)．
当－1<a <0时，椭圆焦点在x 轴上；
当a <－1时，椭圆焦点在y 轴上．
例题小结：
椭圆的另一种生成方法：一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数(不等于－1)，轨迹即为椭圆，但要注意除去不符合题意的点．
跟踪训练：
已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →
|.求动点P 的轨迹C 的方程．
设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →
＝(1－x ，－y )，
由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23
＝1. ∴点P 的轨迹方程是椭圆C ：x 24＋y 23＝1.
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