《数学规划》第二章 线性规划

第二章 线性规划的基本性质
本章主要内容
线性规划问题的标准型 基本解和基本可行解 线性规划的基本定理 基本可行解与极点的关系（图解法）
线性规划问题的雏形
考虑问题：
求 max x0=x1+3x2
x2
满足条件：-x1+x2≤1
x1+x2 ≤2 （p）
X1，x2≥0
C
➢线性规划问题最基本的性质： 在顶点达到极值，通过代数方法， B 描述高维空间中多面体的顶点，然 后，进一步求出达到极值的顶点。
a24 x4 a34 x4
18 17
a41x1 a42 x2 a43 x3 a44 x4 20
➢ 显然还应有：x1，x2，x3，x4≥0
1. 2线.性1规线划的性数学规模型划由三问个题要素的构成标准型
决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
max Z=34.2是唯一的。
（7.6，2）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
x1
L0： 0=3X1+5.7X2
图解法 min Z=5X1+4X2
x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
解：设各抽水井的抽水量分别为x1，x2，x3，x4，四个井同时工作，相互间产 生水位干扰，根据线性叠加原理，流场内任一点，水位降深等于各井抽水对 该点降深之和。
设aij代表第j井单位抽水量在i井处产生的降深，则四个井的降深分别为：
4，
a1 j x j
j 1
4，
a2 j x j
j 1
4，
a3 j x j
例2.2-2 用图解法求解线性规划问题
max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 ≥ 3.8 X1 - 1.9X2 ≤ 3.8
s.t. X1 + 1.9X2 ≤10.2 X1 - 1.9X2 ≥ -3.8 X1 ，X2 ≥ 0
图解法 max Z = 2X1 + X2
x2
4 = 2X1 + X2
X1 + 1.9X2 = 10.2(≤)
X1 - 1.9X2 = -3.8 (≥)
11 = 2X1 + X2 17.2 = 2X1 + X2
20 = 2X1 + X2
D可行域
（7.6，2）
此点是唯一最优解， 且最优目标函数值
max Z=17.2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
1.1
产品 甲 乙 丙 丁
资源限制
台时 a11 a12 a13 a14 b1
材料1 a21 a22 a23 a24 b2
材料2 a31 a32 a33 a34 b3
材料3 a41 a42 a43 a44 b4
每千克产品预测利润 c1 c2 c3 c4
求：使预测利润最大的方案。
解：表设示甲为、线乙性、规丙划、问丁题四：种产品的产量分别为x1,x2,x3和x4，则上述问题可
1. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式
（唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解）
2. 作图的关键有三点： (1) 可行解区域要画正确 (2) 目标函数增加的方向不能画错 (3) 目标函数的直线怎样平行移动
相关定理与推论
本章小结
1、线性规划的标准型 2、线性规划的基本解和基本可行解 3、线性规划的常用求解方法——图解法
约束条件： am1x1 am2x2 amnxn ( ) bm
x1 0 xn 0
n
简写为： max (min) Z c j x j
j 1
n
aij x j ( ) bi (i 1 2m)
j 1
xj 0
(j 1 2n)
向量形式： max (min) z C T X
X
pjxj 0
如何化标准形式？
目标函数的转换
如果是求极小值即 minz c j，x j则可将目标函数乘以(-1)，
可化为求极大值问题。
即 maxz z c j x j
也就是：令 z z，可得到上式。
变量的变换
若存在取值无约束的变量 其中：xj , xj 0
x，j 可令
x j xj xj
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
s.t
n j1
aij x j
bi
(i 1,2,, m)
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程 组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解
的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
图解法
线性规划问题的求解方法
一般有 两种方法
图解法 单纯形法
两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标
适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
1 6
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1
5 0
1 1
B1 10 6 B2 6
2
B3 10
1 B4 6
0
5 1
1 0
1 1
1 0
1 0
B5 10
0
B6
2
1
B7
2
0 B8 6 1 B9 0 1
2.4 基本可行解与极点的关系
对于有n个变量、m个等式约束的线性规划问题，基本解 的个数最多为：
基本可行解的个数最多为：
例2. 2-1 求线性规划问题的所有基矩阵
max Z 4 x1 2x2 x3
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5
2
x
j
0,
j
1,,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
源自文库
5 A 10
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
o
Lo： 0 = 2X1 + X2
x1
图解法 max Z=3X1+5.7X2
x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（3.8，4）
D可行域
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值
或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。
2. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1x1 c2x2 cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn ( ) b1
j 1
4
a4 j x j
j 1
依题意有：该问题的目标是使开采量最大化，即：
maxZ=x1+x2+x3+x4
同时，各井的降深不能超过允许降深，即
约束条件为：
a11x1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 15
aa3211
x1 x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
作业
靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为 每天500万m3，在两个工厂之间有一条流量为每天200万m3 的支流。第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污 水2万m3，第二天化工厂每天排放这种工业污水1.4万m3。 从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有 20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量 应不大于0.2%。这两个化工厂都需各自处理一部分工业污 水。第一化工厂处理工业污水的成本是100元/万m3，第二 化工厂处理工业污水的成本是800元/万m3。
x1+x2=4(≥)
2
4
无界解(无最优解)
x1+3x2=6(≥)
6
x1
x2
50 40
30 20
10
例2.2-4
max Z=3x1+4x2 2x1 x2 40 x1 1.5 x2 30
x1 x2 50 x1 0, x2 0
无可行解(即无最优解)
O
10
20
30
40
50
x1
图解法
学习要点：
基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由
约束条件方程②解出基变量，称这组解为基解。在
基解中变量取非0值的个数不大于方程数m，基解的
总数不超过
C
m n
基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简
称基可行解。
可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
2.3 线性规划的基本定理
基：设A为约束条件②的m×n阶系数矩阵(m<n)，其秩为
m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（∣B∣≠0），称B是规划问
题的一个基。设：
a11 a1m
B
(
p1
pm
)
am1
amm
称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。与基向量Pj
对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。
b1
B
bm
3. 线性规划问题的标准形式
n
max Z cjx j j1
s.t
n j1
aijx j
bi
i 1,2,, m
x j 0, j 1,2,, n
特点：
(1) 目标函数求最大值（有时求最小值）
(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
max Z
2 x1
x2
3(
x
3
x3)
0x4
0x5
5 x1
x2
(
x
3
x3)
x4
7
x1 x2 ( 5x1 x2
x
3
2(
x
3
x3) x3)
x5 2 5
x1
,
x
2
,
x
3
,
x3, x4 , x5
0
2.2 基本解和基本可行解
线性规划问题
n
max Z c j x j (1) j1
( )
B
其中：C T (c1 c2 cn )
x1
X
xn
Pj
a1
j
amj
b1
B
bm
矩阵形式：
max (min) Z C T X
AX ( ) B
X
0
其中：C T (c1 c2 cn )
a11 a1n
A
am1 amn
x1
X
xn
数学模型为：
max Z = 2x1 + 3x2 2x1 + 2x2 ≤ 12
x1 + 2x2 ≤ 8
s.t.
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
水资源系统中的线性规划问题
例1.3 某冲积平原有四个供水井，拟取砂石承压含水层地下水作供水 之用，设四个井的允许降深分别为15，18，17，20米，问各井抽水量 为多少，才能使总开采量最大？
D
X0=5
A
x1
X0=0
目标函数
约束函数
其中，f（x）、hi（x）和gp（x）为En内的实函数。 当目标函数与约束函数均为线性函数时，则称为线性规划。 线性规划通常解决下列两类问题： （1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）
aij xj bi
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
变量 x j 0 的变换
可令
xj
x
，显然
j
x
j
0
例1.4 将下列线性规划问题化为标准形式
min Z 2x1 x2 3x3
5x1 x2 x3 7
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量 x5，x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1)， 将右端常数项化为正数；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到 max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
标准形式如下：
x1 x2 4x3 2 3x1 x2 2x3 5
x1, x2 0, x3无约束
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以
用 x3 替x3 换 ，x且3 x3 , x3 0
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量 x4，x4≥0,化为等式；
例1.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分 别要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台 时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使 企业总的利润最大？
设备
产品
A
B
C
D 利润（元）
甲
2140
2
乙
2204
3
有效台时
12 8 16 12
解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
x1
L0： 0=5X1+4X2
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
例2.2-3
max Z=x1+2x2
x1 3x2 6
x1 x2 3x1 x
4 2 6
x1 0、x2 0
2
max Z min Z