圆的切线性质定理
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MA
L
性质3：圆的切线垂直于过切点的半径。
证明或 ∵ 直线L是圆O的切线 解答： ∴ OA ⊥ L
练习与巩固：
1、如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°， 则∠BAC等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10°
O B A
（1）
A E
C
O B
（3）
B
D
（2）
切线的判定：
1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。
3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的判定： 1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
O.
l
A
2. 如图,点A是⊙O与直线 l 的公共点,且 l ⊥OA .在直线 l 上任取异于点A的点B,则△OAB是 Rt△． 而OB是Rt△ OAB的斜边，因此，都有OB>OA,即B 一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线只有 一个公共点，因此 l 是圆的切线．由此可得： 切线的判定定理：经过半 径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线．
根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件： O
l
A B
1.经过半径的外端； 2.与半径垂直．
应用格式(几何语言): OA是⊙O的半径 OA⊥l于A
l是⊙O的切线.
将上述判定1、2反过来，结论是否还成立呢？
成立。 切线的性质：
1、圆的切线与圆只有一个交点。
2、切线与圆心的距离等于半径。
如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与 直线L是不是垂直呢？ 分析：假设OA与L不垂直，过 O 点作OM⊥L，垂足为M。 根据垂线段最短的性质，有 OM﹤OA，这说明圆心O到直线 A L L的距离小于半径OA，于是直 O 线L就要与圆相交，而这与直线 L是圆O的切线相矛盾。 因此，OA与直线L垂直。
C
A
2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于 点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于___ _度. 3、如图,在△OAB中,OB：AB=3：2 , 0B=6，⊙O与AB相切 于点A, 则⊙O的直径为 。
4、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若 ∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，则
C
O
B
7、如图,AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切 线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。
D
C
O B
D A
C B
A
O
（8）
（7）
8、如图,AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC 平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线。
作业：
1、习题24.2第3，4，5题。 2、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于P， CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线． A P
A
A C
O
A B
B
D
C B
C
一、切线的性质：
1、圆的切线与圆只有一个交点。
2、切线与圆心的距离等于半径。
3、圆的切线垂直于过切点的半径。
二、辅助线的作法 作过切点的半径
３．应用： 例１ 如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D， DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD． ∵BD＝CD，OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线. ∴OD//AC. 又∵ ∠DEC＝90°, ∴ ∠ODE＝90°. 又∵ D在圆周上, ∴ DE是⊙O的切线. C E D B A O
1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直， 所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点； 反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心. 由此得到： 切线的性质定 理的推论１:经 过圆心且垂直 于切线的直线 必经过切点． 切线的性质定 理的推论２:经 过切点且垂直 于切线的直线 必经过圆心．
∠BPC的度数是（
A、600
）
B
O C
B、1200
C、600或1200 D、1400或600
P
A
5、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O
的半径多少？
注：已知切线、切 点，则连接半径，应用
B
切线的性质定理得到垂
直关系，从而应用勾股
O
A
P
定理计算。
6. 如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为 30°，过C点的切线PC与AB的延长线交 于P，PC=5，则⊙O的半径为（ ） A.
5 3 3
B.
5 3 6
C. 10
A
D. 5
C O
B
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ辅助线的作法：作过切点的半径
7. 如图，AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点， AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证： AC平分∠DAB．
证明：连接OC． ∵CD 是⊙O的切线， ∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD , ∴OC//AD. ∴∠ACO＝ ∠CAD . 又∵OC=OD, ∴∠CAO＝ ∠ACO ∴∠CAD＝ ∠CAO , 故AC平分∠DAB． A D
O
B E C
6、在△ABC中，AB=2，以A为圆心，1为半径的圆与边BC 相切于点D ，则BD的长为 。
变式一：在△ABC中，AB=2，AC= 半径的圆与边BC相切 ，则BC的长为 ，以A为圆心，1为 。
变式二：如图，点A是圆O外一点，OA=4，AB与圆相切于点 B，且AB=2 ，弦BC∥OA，则BC的长为 。
L
性质3：圆的切线垂直于过切点的半径。
证明或 ∵ 直线L是圆O的切线 解答： ∴ OA ⊥ L
练习与巩固：
1、如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°， 则∠BAC等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10°
O B A
（1）
A E
C
O B
（3）
B
D
（2）
切线的判定：
1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。
3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的判定： 1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
O.
l
A
2. 如图,点A是⊙O与直线 l 的公共点,且 l ⊥OA .在直线 l 上任取异于点A的点B,则△OAB是 Rt△． 而OB是Rt△ OAB的斜边，因此，都有OB>OA,即B 一定点在圆外．由点B的任意性可知，圆与直线只有 一个公共点，因此 l 是圆的切线．由此可得： 切线的判定定理：经过半 径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线．
根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件： O
l
A B
1.经过半径的外端； 2.与半径垂直．
应用格式(几何语言): OA是⊙O的半径 OA⊥l于A
l是⊙O的切线.
将上述判定1、2反过来，结论是否还成立呢？
成立。 切线的性质：
1、圆的切线与圆只有一个交点。
2、切线与圆心的距离等于半径。
如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与 直线L是不是垂直呢？ 分析：假设OA与L不垂直，过 O 点作OM⊥L，垂足为M。 根据垂线段最短的性质，有 OM﹤OA，这说明圆心O到直线 A L L的距离小于半径OA，于是直 O 线L就要与圆相交，而这与直线 L是圆O的切线相矛盾。 因此，OA与直线L垂直。
C
A
2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于 点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于___ _度. 3、如图,在△OAB中,OB：AB=3：2 , 0B=6，⊙O与AB相切 于点A, 则⊙O的直径为 。
4、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若 ∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，则
C
O
B
7、如图,AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切 线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。
D
C
O B
D A
C B
A
O
（8）
（7）
8、如图,AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC 平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线。
作业：
1、习题24.2第3，4，5题。 2、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于P， CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线． A P
A
A C
O
A B
B
D
C B
C
一、切线的性质：
1、圆的切线与圆只有一个交点。
2、切线与圆心的距离等于半径。
3、圆的切线垂直于过切点的半径。
二、辅助线的作法 作过切点的半径
３．应用： 例１ 如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D， DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD． ∵BD＝CD，OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线. ∴OD//AC. 又∵ ∠DEC＝90°, ∴ ∠ODE＝90°. 又∵ D在圆周上, ∴ DE是⊙O的切线. C E D B A O
1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直， 所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点； 反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心. 由此得到： 切线的性质定 理的推论１:经 过圆心且垂直 于切线的直线 必经过切点． 切线的性质定 理的推论２:经 过切点且垂直 于切线的直线 必经过圆心．
∠BPC的度数是（
A、600
）
B
O C
B、1200
C、600或1200 D、1400或600
P
A
5、如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O
的半径多少？
注：已知切线、切 点，则连接半径，应用
B
切线的性质定理得到垂
直关系，从而应用勾股
O
A
P
定理计算。
6. 如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为 30°，过C点的切线PC与AB的延长线交 于P，PC=5，则⊙O的半径为（ ） A.
5 3 3
B.
5 3 6
C. 10
A
D. 5
C O
B
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ辅助线的作法：作过切点的半径
7. 如图，AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点， AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证： AC平分∠DAB．
证明：连接OC． ∵CD 是⊙O的切线， ∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD , ∴OC//AD. ∴∠ACO＝ ∠CAD . 又∵OC=OD, ∴∠CAO＝ ∠ACO ∴∠CAD＝ ∠CAO , 故AC平分∠DAB． A D
O
B E C
6、在△ABC中，AB=2，以A为圆心，1为半径的圆与边BC 相切于点D ，则BD的长为 。
变式一：在△ABC中，AB=2，AC= 半径的圆与边BC相切 ，则BC的长为 ，以A为圆心，1为 。
变式二：如图，点A是圆O外一点，OA=4，AB与圆相切于点 B，且AB=2 ，弦BC∥OA，则BC的长为 。