数的整除性问题

数的整除性问题，内容丰富，应用广泛，它既是小学数学的重要学习内容，又因思维技巧性强而在数学竞赛中频频出现。在这一讲里，我们主要介绍整除的基本概念和性质，为后面的学习做好准备。

1．整除的概念

在小学书中所学的自然数和零，都是整数。同学们都知道，如果一个整数a除以一个自然数b，商是整数而且没有余数（或者说余数为零），就叫做a能被b整除，或者b整除a，记作a│b。这时a叫做b的倍数，b叫做a的约数。

例如，3│15表示15能被3整除，或者3整除15；也可以说15是3的倍数，3是15的约数。

由整数概念可知，整除必须同时满足三个条件：（1）被除数是整数，除数是自然数；（2）商是整数；（3）没有余数。这三个条件只要有一个不满足，就不能叫整除。

例如，16÷5=3.2，商不是整数，所以不能说5整除16。又如，10÷2.5=4，除数不是自然数，所以不能说10能被2.5整除。

2．整除的性质

（1）如果两个整数都被同一个自然数整除，那么它们的和、差（大减小）也都能被这个自然数整除。换句话说，同一个自然数的两个倍数之和、差（大减小）仍是这个自然数的倍数。

例如，18与42都能被6整除，那么18与42的和60、差24也都能被6整除；即从6│18及6│42可知6│（18+42）、6│（42－18）。

（2）如果甲数整除乙数，乙数整除丙数，那么甲数整除丙数。即如果丙数是乙数的倍数，乙又是甲数的倍数，那么丙数是甲数的倍数。

例如，7│28，28│84，那么就有7│84。

（3）如果甲数整除乙数，那么甲数就整除乙数与任一整数的乘积。也就是说如果乙数是甲数的倍数，那么乙数的任一倍数也是甲数的倍数。

例如，13│39，39×4=156，因此13│156。

（4）如果甲数能被丙数整除，而乙数不能被丙数整除，那么甲数与乙数的和、差都不能被丙数整除。即如果甲数是丙数的倍数，乙数不是丙数的倍数，那么甲数与乙数的和、差（大减小）都不是丙数的倍数。

例如，6整除48，6不整除35，所以6不整除83（48+35=83），也不整除13（48－35=13）。

3．数的整除特征

（1）个位数字是0、2、4、6、8的数都能被2整除；反过来，个位数字是1、3、5、7、9的数都不能被2整除。

（2）个位数字是0或5的数都能被5整除；反过来，个位数字既不是0也不是5的数都不能被5整除；反过，个位数字既不是0也不是5的数都不能被5整除。

（3）末两位数能被49或25）整除的数，必能被4（或25）整除；反过来，末两位数不能被4（或25）整除的数，必不能被4（或25）整除。

（4）末三位数能被8（或125）整除的数，必须被8（或125）整除；反过来，末三位数不能被8（或125）整除的数，必不能被8（或125）整除。

上述各条可以综合推广成一条：

末n位数能被2 （或5 ）整除的数，本身必能被2 （或5 ）整除；反过来，末n位数不能被2 （或5 ）整除的数，本身必不能被2 （或5 ）整除。

例如，364789056能不能被16整除？因为16=2 ，所以只要看364789056的末四位9056能不能被16整除。从16整除9056就可知16整除364789056。

（5）各位数字之和能被3（或9）整除的数，本身也能被3（或9）整除；反过来，各位数字之和不能被3（或9）整除的数，本身也不能被3（或9）整除。

我们通过具体例子来说明其中的道理：

83256

=8×10000+3×1000+2×100+5×10+6

=8×（9999+1）+3×（999+1）+2×（99+1）+5×（9+1）+6

=（8×9999+3×999+2×99+5×9）+（8+3+2+5+6），

因为第一个括号内的结果是3的倍数，所以如果第二个括号内的结果是3的倍数，那么根据整除的性质（1），原数就是3的倍数；如果第二个括号内的结果不是3的倍数，那么根据整除的性质（4），原数就不是3的倍数。现在第二个括号内的结果是8+3+2+5+6=24，24是3的倍数，所以原数是3的倍数。完全类似，因为第一个括号内的结果是9的倍数，第二个括号内的结果不是9的倍数。所以根据整除的性质（4），原数不是9的倍数。

（6）能被（7（11或13）整除的数的特征：这个数的末三位数字所表示数与末三位以前的数字所表示的数之差（大减小）能被7（11或13）整除。

例如判断1265817能否分别被7、11、13整除？把1265817分成两段：1265与817，因为1265－817=448，而7整除448，所以7整除1265817；11不整除448，所以11不整除1265817；同样，13不整除448，所以13不整除1265817。

这是什么道理呢？

因为7×11×13=1001，所以凡是001的倍数都能被7、11、13整除。

1265817=1265×1000+817

=1265×1001－1265＋817

=1265×1001－（1265－817），

因为1001能被7整除，所以1265×1001也能被7整除。如果（1265－817）能被7整除，那么1265817也能被7整除；反过来，如果1265817能被7整除，那么（1265－817）也能被7整除。这就说明，1265817能否被7整除，完全取决于（1265－817）能否被7整除。而817与1265正是1265817的末三位数字与末三位以前的数字所表示的数。

对于11和13来说，情形完全一样。

如果把1265817换成其它数，上述推导过程可以照样进行，所以我们能用上述方法来判断一个数能否被7（11或13）整除。

由此整除特征可以看到，把一个三位数连写两遍所得的六位数必能同时被7、11、13整除。例如382382就能同时被7、11、13整除。实际上，这样的数是1001的倍数，而1001=7×11×13。

（7）能被11整除的数的特征二：这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。

我们利用92587来说明其中的道理。

92587=9×10000+2×1000+5×100+8×10+7

=9×（909×11+1）+2×（91×11－1）+5×（9×11+1）+8×（11－1）+7

=（9×909×11+2×91×11+5×9×11+8×11）+（9－2+5－8+7）

因为第一括号内的结果能被11整除，所以92587能否被11整除，完全取决于第二个括号内的结果能否被11整除。第二个括号内恰好就是奇位数字之和与偶位数字之和的差。

现在9－2+5－8+7=11，所以原数92587能被11整除。