专题二：竖直平面内的圆周运动的综合问题

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A 6122

--图6121

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专题二：竖直平面内的圆周运动的综合问题

【学习目标】

1. 了解竖直平面内的圆周运动的特点．

2. 了解变速圆周的运动物体受到的合力产生的两个效果，知道做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心．

3. 掌握处理变速圆周运动正交分解的方法．

4. 学会用能量观点研究竖直平面内圆周运动．

【教材解读】

1. 竖直平面内的圆周运动的特点

竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种．常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力与轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不做功，而重力对物体做功使物体的动能不断变化，因而物体做变速圆周运动．若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体做匀速圆周运动．

2. 变速圆周运动所受合外力产生两个效果 做变速圆周运动的物体受到的合力不指向圆心(图6-12-1)，它产生两个方向的效果． 12F F F ⎧−−−−−−−→⎪⎨−−−−−−−→⎪⎩ 合产生向心加速度产生切线方向加速度半径方向的分力改变速度的方向切线方向的分力改变速度的大小 因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F 1提供向心力．

3. 变速圆周运动中的正交分解

应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体（视为质点）所在的位置，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿法线（半径）方向，法线方向的合力F 1改变速度的方向；另一个沿切线方向，切线方向的合力F 2改变速度的大小．（想一想，图 6-12-1中物体的速度在增大还是减小？）

4. 处理竖直平面内圆周运动的方法

如前所述，通常情况下，由于弹力对物体不做功，只有重力（或其他力）对物体做功，因此，运用能量观点（动能定理、机械能守恒定律）和牛顿运动定律相结合是解决此类问

题的有效方法．另外要注意在不同约束条件下物体能完成圆周运动的条件不同：在绳（或沿圆轨道内侧运动）的约束下，最高点速度v ≥度v ≥ 0．

【案例剖析】

例1．如图6-12-2所示，质量为m 的小球自半径为R 的光滑半

圆形轨道最高点A 处由静止滑下，当滑至最低点B 时轨道对小球的

支持力是多大？

解析：小球下滑过程中轨道对小球的弹力不做功，只有重力对

小球做功，所以小球的机械能守恒．

212

mgR mv =由机械能守恒定律得: 2

, 3v B F mg m F mg R

-==在点,根据牛顿第二定律有:由可解得 例2．如图6-12-3所示，长为l 的细绳一端固定在O 点，另一端拴质量为m 的小球，在O 点正下方距离O 点d 处有一钉子．将细绳拉成水平无初速释放小球，为使细绳碰到钉

子后小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，d 应满足什么条件？ 解析：为使小球能绕钉子做完整的圆周运动，小球必须能通过圆周

的最高点，设小球运动的轨道半径为R ，

则小球在最高点的速度应满足：

v ≥

21 22mgl mgR mv =+根据机械能定律有: 由此可解得：R ≤ 0.4l ．所以，d 满足的条件是：0.6l ≤ d < l ．

例3．风洞实验室中可产生大小、方向可调节的风力．用长为l 的细

线拴一小球将其放入风洞实验室，调节风力方向为水平向右（如图6-12-4所示），当小球静止在A 点时，悬线与竖直方向夹角为α．试求：

⑴ 水平风力的大小；

⑵ 若将小球从竖直位置由静止释放，当悬线与竖直方向成多大角度时，

小球的速度最大？最大速度是多少？

解析： ⑴参照图6-12-5，根据平衡知识，可求得风力大小F = mgtanα，同时还可求得风力与重力的合力为mg/cos α．

⑵当小球运动到细线与竖直方向夹角为β时，建立如图6-12-6所示的

坐标系：在x 轴方向，当Fcosβ >mgsinβ时，小球速度在增大；当Fcosβ

时，小球速度在减小．当Fcosβ = mgsinβ时小球的速度达到最大，将第⑴问中的F 代入即可解得：β = α．

21sin (1cos )2Fl mgl mv αα--=根据动能定理得:

tan F mg v α==将代入可解得思考：⑴小球静止在A 点时，给小球多大的速度才能使它在竖直平面内做完整的圆周运动？ 如图6-12-7所示，小球必须能通过B 点才能做完整的圆周运动，

设通过B 点时小球的最小速度为v min ，则此时绳上拉力恰好为零．

222min min 11 2cos cos 22

v mg mg m l mv mv l v

αα==-=(1)(2)由(1)(2)可解得: ⑵若将风力方向调节为竖直向上，并使风力大小恰好等于小球

重力，那么，在最低点给小球水平方向的初速度，试分析小球的运动情况．

6124--图

6123--图F

6125--图

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--图6127--图

分析：因为合力对小球始终不做功，故动能不变，所以小球做匀速圆周运动．

【知识链接】

飞行员在进行特技飞行表演时，会发生黑视现象．当飞行员从俯冲

状态往上拉时（图6-12-8），血液处于超重状态，视重增大，心脏无法

象平常一样运输血液，导致血压降低，从而导致视网膜缺血．

【目标达成】

1．如图6-12-9所示，小球在竖直放置的光滑圆弧轨道内侧做圆周运动，下列关于小球加速度方向的说法中，正确的是（ ）

A. 一定指向圆心

B. 一定不指向圆心

C. 只有在最高点和最低点指向圆心

D. 除最高点和最低点外，肯定不指向圆心

解析：对小球受力分析可知，只有小球处于最高点和最低点时，弹力与重力的合力才指向圆心，其他位置均不指向圆心，故选项C 、D 正确．

2．上海锦江乐园新建的“摩天转轮”是在直径为98m 的圆周上每隔一定位置固定一座舱，每座舱有6个座位．游人乘坐时，转轮始终不停地在竖直平面内匀速转动，试判断下列说法中正确的是（ ）

A. 每时每刻，乘客受到的合力都不为零

B. 每个乘客都在做加速度为零的匀速运动

C. 乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变

D. 乘客在乘坐过程中的机械能始终保持不变

解析：由于乘客随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，故受到合力指向圆心，选项A 正确、B 错误．将加速度沿水平、竖直方向分解可知：人位于转轴以下时，人处于超重状态，人对座位的压力大于人的重力；人位于转轴以上时，人处于失重状态，人对座位的压力小于人的重力，故选项C 错误．在运动过程中，人动能始终不变，而势能在变化，所以选项D 错误．故本题正确选项为A ．

3．如图6-12-10所示，细线长为l ，一端固定在O 点，另一端系一小球，把线拉至水平位置，然后无初速释放小球，在达到最低点时小球加速度为a ，线的拉力为F ，则它们之间的关系为（ ） A ． l 越长，a 越大，F 也越大

B ． l 越长，a 越大，F 不变

C ． l 越长，F 越大，a 不变

D ． a 、F 均不随l 的变化而变化

解析：根据机械能守恒定律和牛顿第二定律可求得：F = 3mg ，a = 2g ，故选项D 正确．

4．如图6-12-11所示，将完全相同的两个小球A 、B ，用长0.8m 的细线悬于以v = 4m/s 向右匀速行驶的车厢顶部，两球分别与小车前后壁接触，由于某种原因，车厢突然停止，

此时前后悬线的拉力之比为（ ）

A. 1：1

B. 1：2

C. 1：3

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图6129--图61211

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图6128--图