北师大版八年级数学下册 线段的垂直平分线 教案

《3 线段的垂直平分线》教案

第1课时

教学目标

1、经历线段垂直平分线性质的发现过程，初步掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，体会辨证思想；

2、能运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题；

3、通过从操作实验到演绎推理的数学活动，认识实验归纳和演绎推理的作用． 教学重点及难点

重点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理；

难点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用．

教学过程设计

一、情景引入

1、引例：

区政府为了方便居民日常生活，计划开一家大超市，为了使该超市到A ，B ，C 三个居民小区的距离相等，请同学们设计一下，这个超市应该建在哪里呢？

A 小区

B 小区

C 小区

2、回顾，导入：

提问1：线段是不是轴对称图形？

如果是，那么请说明它的对称轴在哪里？

提问2：如图，线段AB 关于直线MN 对称，在直线MN 上任取一点P ，分别联结PA 、PB ，那么线段PA 与PB 一定相等吗？

P

M

N C

B A

揭示课题：线段的垂直平分线

二、学习新知

（一）探究新知

1、线段的垂直平分线的性质定理．

操作：以直线MN 为折痕将这个图形翻折，观察点P 的位置动不动？点A 与点B 是否重合？你得到哪些线段相等？

归纳：如果一个点在一条直线的垂直平分线上，那么分别联结这点与线段两个端点所得的两条线段相等．

验证：证明这个命题，写出已知和求证．

已知：如图，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为点C ，点P 在直线MN 上． 求证：PA ＝PB ．

分析：如图，当点P 不在线段AB 上时，要证明PA ＝PB ，只需要证△PCA ≌△PCB ．由直线MN 是线段AB 的垂直平分线，可知CA=CB ，∠PCA=∠PCB ，再加上PC 为公共边，三角形全等即可得到．

特别地，当点P 在线段AB 上时，P 点与C 点重合，此时PA=PB 当然也成立．

P

M

N C

B A

证明：略．

∵

M N 是 线段 AB 的 垂直平分线 （ 已知 ） ∴ M N ⊥ A B ，

A C=BC （ 线段 垂直 平分线 的 定义 ） 设 点 P 在 线段 A

B 外 时 ，

∵

M N ⊥ A B （ 已证 ） ∴ ∠ P CA

= ∠ P C B =90 ？ （ 垂直 的 定义 ） 在 △ P CA 和 △ P CB 中 ，

AC=BC （ 已证 ）

∠ P CA = ∠ P C B （ 已证 ）

PC=PC （ 公共边

） ∴ △

P CA ≌ △ P CB （ S .A.S ） ∴ PA=PB （ 全等 三角形 对应边 相等 ）

当点 P 在线段 AB 上时 ，

点 P 与点 C 重合 ， 即 PA=PB

归纳线段垂直平分线的性质定理：

文字语言：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．

符号语言：

∵点P 在线段AB 的垂直平分线上

∴PA=PB

2、逆定理．

提问：线段垂直平分线的逆命题是什么？逆命题正确吗？

原命题：如果有一个点为线段垂直平分线上的任意一点，那么这个点到线段的两个端点距离相等．

逆命题：如果一个点到线段的两个端点距离相等，那么这个点是这条线段垂直平分线上的一点．

简写为：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上．

符号语言：

∵PA=PB

∴点P 在线段AB 的垂直平分线上

验证：

已知：如图，PA=PB ，

证明：点P 在线段AB 的垂直平分线上．

P

M

N C

B A

分析：为了证明点P 在线段AB 的垂直平分线上，可以先经过点P 作线段AB 的垂线MN ，然后证明直线MN 平分线段AB ．

证明：

过点P 作MN ⊥AB ，垂足为点C

∵PA=PB （已知）PC ⊥AB （已作）

∴AC=BC （等腰三角形底边上的高平分底边）

∴PC 是线段AB 的垂直平分线

即点P 在线段AB 的垂直平分线上．

特别地，当P就在AB的中点上时，结论正确吗？

综上所述，这条逆命题是正确的，也就是说，线段的垂直平分线有它的逆定理．

3、线段的垂直平分线性质定理和逆定理的区别：

性质定理是归纳线段垂直平分线上点到线段两端点的距离的数量关系．

逆定理是归纳和一条线段两端点距离相等的点与线段的位置关系．

（二）应用新知，尝试反馈

已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点．求证：BE=CE．

C

D

证明：联结BC．

∵ AB＝AC，DB＝DC．

∴点A、D在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）

∴AD是线段BC的垂直平分线

∵点E在AD上

∴BE=CE（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）．

三、课堂小结

这节课我们学习了线段垂直平分线定理和逆定理的知识，请同学们谈一下你对本节课学习的体会．

学生活动：谈这节课的主要内容或注意问题等等．

第2课时

教学目标

1、探索尺规方法作线段垂直平分线的思路与过程以及体验其中的演绎思维过程．

2、能运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题．

教学重难点

教学重点：用尺规作线段的垂直平分线；线段垂直平分线性质定理及其逆定理．