高等数学一元函数积分学ppt课件

1 x31 3 1
C
1 2
x 2
C
1 2x2
C
故选B
.
例：求
1 1 x2
dx
提示公式： 11x2dxarctanxC
解：原式=
1 1 x2
dx
arctan
x
C
.
例：计算
1
x
x
dx
提示公式： 1dxln| x|C
x
解：原式=
1
x x
dx
x 11dx 1 x
1
1
1
x
dx
1dx
1
1
dx x
.
第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分 2011年考了16分
（一）、不定积分的概念与性质 （二）、不定积分的基本公式 （三）、换元积分法 （四）、分部积分法
.
（一） 不定积分的概念与性质
1. 原函数
设 f ( x)是定义在某区间上的已知函数，如果
x 存在一个函数 F ( x) ，使对于该区间任意 ，
积 分 符 号
被 积 函 数
被 积 表 达. 式
积 分 变 量
任 意 常 数
（一） 不定积分的概念与性质 3. 不定积分的几何意义 设函数 f (x) 在某区间上的一个原函数为 F(x) ，则
yF(x) 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而
yF(x)c 的图象显然可由这条曲线沿 o y 轴向上
或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线， 因此，不定积分的几何意义是 f (x) 的全部积分曲线 所组成的积分曲线族。其方程为 yF(x)c.
( 2 ) F ( x ) d F x ( x ) c 或 d ( x ) F F ( x ) c
定理2 k(fx)dx k f(x)dx （k 是常数，k 0)
定理3 [f(x ) g (x )d ] x f(x ) d x g (x ) dx
n
n
推论 fi(x)d x fi(x)dx
(1)3axdx lna
x
a
C
;
.
注意：以上各不定积分是基本积分公式，它是求不定积分的基础， 必须熟记，并会用公式和性质求一些简单函数的不定积分．
例：求
1 x3
dx
A.
2 x2
C
B
1 2x2
C
C.
1 2x2
C
D.
2 x2 C
提示公式： xdx1 1x 1C( 1)
解：原式=
1 x3
dx
x3dx
• 本讲难点：综合利用积分方法求不定积分 。
.
本章来自百度文库点考核的知识点
• 1．原函数的概念； • 2．不定积分的两个性质及一个推论； • 3．分项积分法； • 4．换元积分法；又可细分为凑微分法（重
点）与变量代换法（主要是去根号）； • 5．分部积分法。 • 有理函数积分、三角函数积分基本不考。即
便考，用前面的方法也可解决。
(x5 3)5x4 (x5c)5x4
所以显然 x 5，x5 1，x5 3 ，x5 c
都是 5 x 4 的一个原函数。
.
★ 由此不难得出：
（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。 （2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。
（3）若 F ( x)为 f (x) 的一个原函数，则 F ( x) C
都有关系式：
F(x)f(x) 或 dF (x)f(x)dx
成立，则称函数 F ( x) 为函数 f ( x) 在该区间上
的一个原函数。
.
例 six n cx o , s x (, ) ,
six n 是 co x在 sI(, )上 的 原一 。 函个 数
又因为： (x5) 5x4 (x51)5x4
如下图所示：
.
y
斜 率f (x)
0
x
.
yF(x)c yF(x)
x
（一） 不定积分的概念与性质 4. 原函数存在定理 在 定义区间上的连续函数一定有原函数（即：
一定有不定积分）。
.
（一） 不定积分的概念与性质 5. 不定积分的性质
定理1 微分运算与积分运算互为逆运算，即
( 1 ) [ f ( x ) d ] x f ( x ) 或 d [ f ( x ) d ] x f ( x ) dx
.
例：计算 ex dx
ex 1
(7) six ndxco x sC ; .
（二） 不定积分的基本积分公式
(8) se2cxdxtaxn C;
(9) cs2cxdxco x tC ;
基 本
(1)0se xtca xn d sx excC;
积 (1)1cs xcco xtd x csx cC ;
分 表
(1)2exdx ex C;
表示 f ( x)的所有原函数。
.
（一） 不定积分的概念与性质 2. 不定积分
设 F ( x)是 f (x)在区间I上的一个原函数，则函
数 f (x) 的全体原函数 F ( x) C（c为任意常数）
称为 f ( x)在该区间I上的不定积分。
记为 f ( x)dx . 即：
f(x)d xF (x)C
第三章 一元函数积分学(20%）
一、 不定积分 二、定积分 三、定积分的应用
.
考试点津： • 本讲出题在10分—18分之间，考点不多，
一般在选择题、填空题、计算题中出现， 不定积分是定积分的基础，定积分又是二 重积分、曲线积分的基础，技巧性比较大， 希望同学们多练习。
• 本讲重点：（1）原函数、不定积分的概念 和性质。（2）直接积分方法、换元积分法。 （3）凑微分技巧。
f (u)du F (u) C
又u (x),且(x) 可微，有 F(x) f (x)(x)
f (x)(x)dx F (x) C f (u)du u(x)
定理 1：设 f (u) 有原函数F (u), u (x) 可导，则
f (x)(x)dx F (x) C f (u)du u(x)
1dx
1
1
d x
(1
x)
x ln 1 x C
.
（三）换元积分法（重点掌握第一换元积分法）
１.第一换元法（凑微分法）
第一换元法是求复合函数的不定积分的基本方法．
分析：把复合函数的微分法反过来，用与求不定积分，利用中
间变量的替换，得到复合函数的积分法。
设 f (u)的原函数是F (u) ，即
F(u) f (u)
i1
. i1
（二） 不定积分的基本积分公式
(1 ) k d kx x C(k 是常数);
基 (2)
x
dx
x 1
1
C
( 1);
本 积 分
(3)
(4)
dx x
ln| x|C;
11x2dxarcx ta C narccox tC;
表
1
(5) 1x2dxarcxsiC narcx coCs;
(6) coxsdxsix nC;