(完整版)固体物理晶格振动chap3

1
m)}2
(2
M
1
)2
( )min
(
mM
1
) 2 {(m M ) (M
1
m)}2
(2
m
1
)2
因为 M＞m ( )min ( )max 出现“频率的禁带区”
( )min ( )max —— 不存在格波
频率间隙
( )min ( )max
10/ 20
2.2 长波极限 q 0
A 声学波
第2n+1个M原子 M 2n1 (22n1 2n2 2n )
第2n个m原子 m2n (22n 2n1 2n1)
方程的解
Aei[t(2na )q] 2n
Be 2n1
i [t ( 2 n 1) aq ]
m2 A (eiaq eiaq )B 2 A
M2B
(eiaq
eiaq
重要结论
1. 晶体中的格波的支数＝原胞内原子的自由度
☺ 一种色散关系，即ω～q，对应一支格波
2. 晶格振动的模式数＝晶体中原子的总自由度
☺ 一种振动模式对应一个（ ω ， q ）
2. 色散关系的特点
2.1 短波极限 q
2a
两种格波的频率
( )max
(
mM
1
) 2 {(m M ) (M
) {1 [1
4mM (m M )2
sin2
1
aq]2 }
4mM (m M
)
2
s in 2
(aq)
1
2 , mM
mM
(
B A
)
m
2
2
2 cosaq
B ( A)
m M
—— 长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反
—— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动
习题
1. 对于NaCl晶体，已知其恢复力常数β ＝1.5×101N/cm。试求NaCl晶体中格波光学支的最高频率 和最低频率；声学支的最高频率。
2 61013 rad / s
m
15/ 20
2）相应声子的能量
A max
2
M
EmAax mAax
EmAax 0.0198 eV
O max
2
E
O m
a
x
O m
ax
EmOax 0.0442 eV
O min
2
m
EO m in
O m
in
EmOin 0.0396 eV
(
B A
)
m2 2 2 cosaq
—— 光学波
(
B A
)
m2 2 2 cosaq
—— 声学波
1. q的取值 M和m原子振动方程
Aei[t(2na)q] 2n
Be 2n1
i [t ( 2 n 1) aq ]
相邻原胞之间位相差 2aq
2aq
波矢q的值
q
2a
2a
一维双原子链的布里渊区
2
(m M mM
) {1 [1
4mM (m M )2
sin 2
1
aq]2 }
2
(m M mM
) {1 [1
4mM (m M
)2
sin 2
1
aq]2 }
2
(m M mM
) {1 [1
4mM (m M
)2
sin 2
1
aq]2 }
—— 声学波
2
(m Байду номын сангаасM mM
) {1 [1
4mM (m M
2. 对于NaCl晶体，其密度ρ＝2.18g/cm3,正负离子 的平衡距离a＝2.81×10-10m，光学支格波的最 高频率是3.60×10-13rad/s 。试以一维双原子 链模型计算：
① NaCl的恢复力常数；
② 长声学波的波速；
③ NaCl的体积模量。
Cl和Na的原子量分别为35.5和23.0。
波长在什么波段？
4) 在 T 300 K 下，三种声子数目各为多少？
1) 声学波的最大频率
M 4 15 N / m
m
A max
2
M
A max
31013
rad / s
光学波的最大频率
O max
2
mM 0.2M
mM
O max
5
2 6.7 1013 rad / s
M
光学波的最小频率
O min
)2
sin 2
1
aq]2 }
—— 光学波
—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系
—— 一维复式格子存在 两种独立的格波
两种格波的振幅
2
(m M mM
) {1
[1
4mM (m M
)2
sin2
1
aq]2 }
(2 m2 ) A (2 cosaq)B 0 (2 cosaq) A (2 M2 )B 0
第2n+1个M原子的方程 M 2n1 (22n1 2n2 2n ) 第2n个m原子的方程 m2n (22n 2n1 2n1)
—— N个原胞，有2N个独立的方程
方程解的形式
Aei[t(2na)q] 2n
and
Be 2n1
i [t ( 2 n 1) aq ]
—— 两种原子 振动的振幅A 和B一般来说 是不同的
)A
2
B
(m2 2 )A 2 cosaqB 0 2 cosaqA (M2 2 )B 0
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
m2 2 2 cos aq
0
2 cos aq M2 2
2
(m M mM
) {1 [1
4mM (m M
)2
sin 2
1
aq]2 }
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
例题 一维复式格子中，如果
m 5 1.67 10－27 kg M 4 15 N / m
m
计算
1) 光学波频率的最大值
O max
和最小值
O m
in
，声学波频率
的最大值
A m
a
x
；
2)
相应声子的能量
EO max
,
E
O和
m in
EA max
；
3) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波
采用周期性边界条件
Nn n
q 2 h
2aN
N(2aq) 2h
q的取值
q 2 h
2aN
每个波矢的线度
—— h为整数
q
Na
允许的q值的数目
/ N
a Na
—— 晶体中的原胞数目
a. 描写晶格振动的波矢q只能取分立的值。 b. 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 c. 总的格波数目为2N
应用 1 x 1 x / 2
—— 声学波的色散关系 就是把一维链看作连续介质 时的弹性波
长声学波中相邻原子的振动
(a
2 )q
mM
q 0, 0
(
B A
)
m
2
2
2 cosaq
—— 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致 —— 代表原胞质心的振动
长波极限 q 0
B光学波
2
(m M mM
一维双原子链的模型
一维复式格子的情形 —— 一维无限长链 —— 两种原子m和M _( M > m) ____ 构成一维复式格子 —— M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… —— m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… —— 同种原子间的距离2a____晶格常数
—— 系统有N个原胞 包含２Ｎ个自由度