第4讲利用轴对称破解最短路径问题

第一章平移、对称与旋转

第4 讲利用轴对称破解最短路径问题

一、学习目标

1.理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。

2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。

二、基础知识•轻松学

与轴对称有关的最短路径问题关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：

（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；

（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。

（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短” 或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直” 。另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。）

三、重难疑点•轻松破

最短路径问题

在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题” 、“造桥选址问题” ，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。

（1）“一线同侧两点”问题

例1如图，点A B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，AB'交m于点P.

（1）AB与AP+PB相等吗？为什么？

（2）在m上再取一点N,并连接AN与NB比较AN+N有AP+PB的大小，并说明理由.

解析：(1)T 点B'是点B 关于m 的对称点， ••• PB=PB ,••• AB =AP+PB ,

••• AB =AP+PB

(2)如图：连接 AN, BN B ' N,

T AB' =AP+PB

• AN+NB=AN+NB> AB',

• AN+N > AP+PB

点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想, 利用两点之间的线段最短得出结果。 这类题主考实际问题转化为数学问题的能力，

关键是利 用轴对称、“两点之间，线段最短”及三角形三边的关系等.

变式1需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场

圧 ■

到A , B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置. (2) “两点两线(平行)”问题

例2如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河

流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从 A 到B 的距离最短?

解析：虽然A 、B 两点在河两侧，但连接AB 的线段不垂直于河岸. 关 .

键在于使AP+BD 最短，但AP 与BD 未连起来，要用线段公理就要想办法

使P 与D 重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的.

如图，作BB'垂直于河岸GH 使BB 等于河宽，

连接AB ，与河岸 EF 相交于P,作PD 丄GH

贝U PD// BB'且PD=BB ，于是PDBB 为平行四边形，故

PD=BB .根据“两点之间线段最短”，

AB '最短，即AP+BD 最短.

故桥建立在PD 处符合题意. 点评：此题考查了轴对称——最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”， 解决 “造桥选址”的简单的实际问题.但许多实际问题没这么简单， 需要我们将一些线段进行转 化，即用与它相等的线段替代， 从而转化成两点之间线段最短的问题. 此类题往往需要利用 对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法.

变式2如图，两个村庄 A 和B 被一条河隔开，现要在河

• A

把两条线段的和变为一条线段来研究,

公路 A

上架设一座桥CD•请你为两村设计桥址，使由A村到B村的距

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离最小（假定两河岸m n是平行的，且桥要与河垂直）•要求写出作法，并说明理由.

（3）“一点两线（相交）”解决周长最短问题

例3 :如图所示，/ ABC内有一点P,在BA

点P i、P2，使△ PPR的周长最小.

解析：依据两点之间线段最短，可分别作点

的对称点，如图，以BC为对称轴作P的对称点M,

以BA为对称轴作出P的对称点N,

连MN交BA BC于点P i、P2

•••△ PPP2为所求作三角形.

点评：解题关键是转化“直线上同一侧两点与此直线

上一动点距离和最小”问题（将军饮马问题），其核心是化折为直（两点之间线段最短）的思想，转化技巧是能够运用轴对称性质及作图求解问题.

变式3城关中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO BC）, A0桌面上摆满了桔子，0B桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

（4）“一线异侧两点”“差最大”问题

例4在定直线XY异侧有两点A、B,在直线XY上求作一点P,使PA与PB之差的绝对值最大.

解析：作法：作点B关于直线XY的对称点B',

作直线AB'交XY于P点，

则点P为所求点（如图）；若B' A// XY （即卩B'、A到直线

XY的距离相等），则点P不存在.

证明：连接BP,在XY上任意取点P',

连接P' A P' B,贝U PB=PB, P' B=P B,

因为|P ' B- P' A|=|P ' B'—P' A| v AB =|P ' B-

PA|=|PB - PA|,

所以，此时点P使|PA - PB|最大.

点评：本题考查的是最短线路问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形, 再由两点之间线段最短的知识求解.