初三相似三角形的存在性问题

【例1】 如图，在平面直角坐标系中，双曲线k

y x

=

（0k ≠）与直线y = x ＋2都经过点 A （2，m ）．

（1）求k 与m 的值；

（2）此双曲线又经过点B （n ，2），过点B 的直线BC 与直线y = x ＋2平行交y 轴于点 C ，联结AB 、AC ，求ABC ∆的面积；

（3）在（2）的条件下，设直线y = x ＋2与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E ，如 果以点A 、C 、E 所组成的三角形与ACD ∆相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．

相似三角形的存在性问题

一：以函数为背景的相似三角形问题

x

y

1 1

O

A

B O

M

x

y

【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y = ax 2＋bx （a ＞ 0）经过

点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO = BO = 2，∠AOB = 120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小；

（3）如果点C 在x 轴上，且ABC ∆与AOM ∆相似，求点C 的坐标．

【例3】 如图，平面直角坐标系xOy 中，已知B （1-，0），一次函数5y x =-+的图像与x

轴、y 轴分别交于点A ，C 两点．二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A 、点B ． （1）求这个二次函数的解析式；

（2）点P 是该二次函数图像的顶点，求APC ∆的面积；

（3）如果点Q 在线段AC 上，且ABC ∆与AOQ ∆相似，求点Q 的坐标．

y

x

O

C

A

B

【例4】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 过点A （3，0）、B （0，m ）（0>m ），

tan 2BAO ∠=.

（1）求直线AB 的表达式；

（2）反比例函数1k

y x =的图像与直线AB 交于第一象限内的C 、D 两点（BD < BC ），

当AD = 2DB 时，求1k 的值；

（3）设线段AB 的中点为E ，过点E 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交反比例函数2k y x

=

的图像于点F ，分别联结OE 、OF ，当OEF ∆∽OBE ∆时，请直接写出满足条件的所有

2k 的值.

x

y

A B

O

A B

C

D

H

P A

B

C

D H P E

F

【例5】 如图1，已知梯形ABCD 中，AD //BC ，AB = DC = 5，AD = 4．M 、N 分别是边AD 、

BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且ME //DN ，MF //AN ，联结EF ．

（1）如图2，如果EF //BC ，求EF 的长；

（2）如果四边形MENF 的面积是AND ∆面积的3

8

，求AM 的长；

（3）如果BC = 10，试探求ABN ∆、AND ∆、DNC ∆能否两两相似？如果能，求AN 的长；如果不能，请说明理由．

【例6】 如图1，已知在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，∠ABC = 90°，AB = 4，AD = 3，

25

sin 5

BCD ∠=

，点P 是对角线BD 上一动点，过点P 作PH ⊥CD ，垂足为H ． （1）求证：∠BCD =∠BDC ；

（2）如图1，若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时， 求DP 的长；

（3）如图2，点E 在BC 的延长线上，且满足DP = CE ，PE 交DC 于点F ，若ADH ∆和

ECF ∆相似，求DP 的长．

图1 图2

二：以几何为背景的相似三角形问题

A B

C

D E

F N

M

A B

C

D

E

F N

M

【例7】 如图，已知BC 是半圆O 的直径，8BC =，过线段BO 上一动点D ，作AD BC ⊥交

半圆O 于点A ，联结AO ，过点B 作BH AO ⊥，垂足为点H ，BH 的延长线交半圆O 于点F ．

（1）求证：AH BD =；

（2）设BD x =，BE BF y =，求y 关于x 的函数关系式；

（3）如图2，若联结F A 并延长交CB 的延长线于点G ，当FAE ∆与FBG ∆相似时，求BD 的长度．

（图1）

A B

D O E

H

F

C （图2）

C

O D

B G

A

F

H

E

A

B C

D

E

F

G 【例8】 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC =，BC = 7，点D 是边CA 延长线上的

一点，AE ⊥BD ，垂足为点E ，AE 的延长线交CA 的平行线BF 于点F ，联结CE 交AB 于点G ．

（1）当点E 是BD 的中点时，求tan AFB ∠的值；

（2）CE AF 的值是否随线段AD 长度的改变而变化，如果不变，求出CE AF 的值； 如果变化，请说明理由；

（3）当BGE ∆与BAF ∆相似时，求线段AF 的长．