2019版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十三正弦定理和余弦定理

课时达标检测(二十三） 正弦定理和余弦定理

[练基础小题——强化运算能力]

1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B

b

，则B 的值为________．

解析：由正弦定理知，sin A sin A ＝cos B

sin B

，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.

答案：45°

2．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为153

4

，则BC ＝________.

解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝153

4

，所以AC ＝5，

因此BC 2＝AB 2＋AC 2

－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12

＝49，解得BC ＝7.

答案：7

3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则

△ABC 的形状是________．

解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2

.由余弦定理得cos C ＝a2＋b2－c22ab

＜0，故C 是钝

角．即△ABC 是钝角三角形．

答案：钝角三角形

4．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大

小为________．

解析：由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，

最大的角为C .由余弦定理得cos C ＝－1

2

，∴C ＝120°.

答案：120°

5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －

c ＝2，cos A ＝－14

，则a 的值为________．

解析：在△ABC 中，由cos A ＝－14可得sin A ＝15

4，

所以有⎩⎪⎨⎪⎧

12bc×15

4

＝315，b －c ＝2，

a2＝b2＋c2－2bc×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－14，

解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝8，

b ＝6，

c ＝4.

答案：8

[练常考题点——检验高考能力]

一、填空题

1．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2

＝52

ac ，则cos B 的值为________．

解析：由题意知，c ＝3a ，b 2－a 2＝5

2ac ＝c 2－2ac cos B ，所以cos B ＝c2－52ac 2ac ＝

9a2－15

2a2

6a2

＝1

4

.

答案：

14

2．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a

2

＝(b ＋c )2

，则cos A ＝________. 解析：由S ＋a 2＝(b ＋c )2，得a 2＝b 2＋c 2

－2bc 14sin A －1，由余弦定理可得14sin A －1

＝cos A ，结合sin 2A ＋cos 2

A ＝1，可得cos A ＝－1517

或cos A ＝－1(舍去)．

答案：－

15

17

3．(2018·苏州实验中学模拟)在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形

的解的情况是________．(填“有一解”、“有两解”、“无解”)

解析：由正弦定理得b sin B ＝c

sin C ，

∴sin B ＝bsin C

c ＝40×

3220

＝3＞1.

∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．

答案：无解

4．(2018·南京模拟)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π

3

，

b ＝2a cos B ，

c ＝1，则△ABC 的面积为________．

解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，

故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π

3

，

又A ＝π

3

＝B ，则△ABC 是正三角形，