中考数学专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明

专题提升(十三)以圆为背景的相似三角形的计算与

证明

【经典母题】

如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．

图Z13－1经典母题答图解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R.

在Rt△ACB中，由勾股定理，得

AB＝AC2＋BC2＝15.

∵AC切半圆O于点E，∴OE⊥AC，

∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC，

∴△AEO∽△ACB，

∴OE

BC＝

AO

AB，∴

R

9＝

15－R

15，解得R＝

45

8，

∴AO＝AB－OB＝15－R＝75 8.

【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长．

【中考变形】

1．如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O是

AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB

相切于点D，连结OD.

(1)求证：△ADO∽△ACB；

(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.

证明：(1)∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，

∴∠C＝∠ADO＝90°，∵∠A＝∠A，

图Z13－2

∴△ADO∽△ACB；

(2)由(1)知，△ADO∽△ACB.∴AD

AC＝

OD

BC，

∴AD·BC＝AC·OD，∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.

2．[2017·德州]如图Z13－3，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．

图Z13－3 中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结OE，EC，∵AC是⊙O的直径，

∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点，

∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，

∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，

∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB，

∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线；

(2)由(1)知∠BEC＝90°，

∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，

∴△BEC∽△BCA，∴BE

BC＝

BC

BA，

∴BC2＝BE·BA，∵AE∶EB＝1∶2，

设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，

∵BC＝6，∴62＝2x·3x，解得x＝6，即AE＝ 6.

3．如图Z13－4，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.

(1)求证：直线CD是⊙O的切线；

(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．

图Z13－4 中考变形3答图解：(1)证明：如答图，连结DO.

∵AD∥OC，

∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.

∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，

∴∠COD＝∠COB.

又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)，

∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD.

又∵点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线；

(2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB.

∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC，

∴△EDA∽△ECO，∴AD

OC＝

DE

CE＝

DE

DE＋CD

＝

2

3.

4．[2016·广东]如图Z13－5，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC ＝30°.过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.

(1)求证：△ACF∽△DAE；

(2)若S△AOC＝

3

4，求DE的长；

(3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线．

图Z13－5 中考变形4答图解：(1)证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，

又∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°，

又∵OA＝OC，

∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°，

∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，

∴∠CAF＝∠AFC＝30°，

∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°，

∴∠D＝∠DEA＝30°，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC，∴△ACF∽△DAE；

(2)∵△AOC为等边三角形，∴S△AOC＝

3

4OA

2＝

3

4，

∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又∵∠D＝∠BEO＝30°，

∴BD＝23，BE＝3，∴DE＝33；

(3)证明：如答图，过点O作OM⊥EF于点M，

∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF，

∴△OAF≌△OBE(SAS)，∴OE＝OF，

∵∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°，

∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE平分∠BEF，

又∵∠OBE＝∠OME＝90°，

∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线．

5．[2017·株洲]如图Z13－6，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E 为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB 于点D.

(1)求证：CE∥BF；

(2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶5，求△BCD的面积．

图Z13－6 中考变形5答图

解：(1)证明：如答图，连结AC，BE，作直线OC，