工力B第8章杆件的扭转解析

2. 切应力互等定理
y
’
根据平衡条件
材料力学
’
z
dx
dy
Fx 0
x
Fy 0
自动满足
于是得到
Mz 0 d y d zd x d x d zd y
这就是切应力互等定理.
第八章 杆件的扭转
材料力学
’
’
切应力互等定理:
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且 大小相等，并都垂直于两个平面的交线，方向则共同指 向或共同背离这一交线.
单元体 – 微小六面体
D A
材料力学
D’Fra Baidu bibliotek
C
B
r0
C’
微体只产生剪切变形。
沿圆周方向所有微体的剪切变形相同。
横截面上只存在垂直于半径的剪应力，沿圆周大小不 变，沿壁厚均匀分布。
第八章 杆件的扭转
切应力的计算
扭矩等于剪应力的合力矩 T= (2πRt)τR
τ=T/(2πR2t )
r0
材料力学
第八章 杆件的扭转
材料力学
剪切胡克定律
塑性材料的扭转试验表明，扭转时的应力-应变关系与拉伸时 相同
第八章 杆件的扭转
剪切胡克定律 当 τ≤τp (弹性范围内),
材料力学
τ=G
剪切胡克定律
G—剪切弹性模量.
它与τ(Pa, 通常使用 GPa) 具有相同的量纲.
G, E 和 m 都是材料的弹性常量，但它们中只有
两个是独立的，它们之间的关系是
第八章 杆件的扭转
DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST
第八章 杆件的扭转
材料力学
本章介绍
扭转的概念 轴的扭力矩、扭矩和扭矩图 切应力互等定理、剪切胡克定律 圆轴扭转时的应力与变形 圆轴扭转的强度条件和刚度条件
第八章 杆件的扭转
§8-1 扭转的概念
实例
材料力学
3
M4
B
M2
B
M2
B
1C
2A
3
D
1
T1 x
T1 M 2 4.78kN m
1
M3 2
T2 x T2 M2 M3 9.56kN m
C
2
T3 M 4 6.37kN m
T3 3
3
M4
x D
第八章 杆件的扭转
画扭矩图
M2
1
M3 2 M1
B
1C
2A
材料力学
3
M4
3
D
6.37
4.78
9.56
纯剪切状态 – 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应 力的应力状态。
第八章 杆件的扭转
材料力学
思考
已知单元体上、下两个面上的剪应力，以下各图中所画的其 他面上的剪应力，哪个图是正确的？
A
C
B
D
第八章 杆件的扭转
3. 剪切胡克定律
切应变
M
切应变
材料力学
D A
D’
C
B
C’
M
R
l
扭转角
第八章 杆件的扭转
T=Me
第八章 杆件的扭转
扭矩T 的正负约定 :
+
材料力学
+
第八章 杆件的扭转
3 扭矩图 坐标 (x, T)用来表示沿轴线方向的扭矩变化. x 表示横截面的位置. T表示扭矩的大小. 我们可以画出扭矩图。
材料力学
第八章 杆件的扭转
材料力学
例 8-1 传动轴如图所示，已知：转速 n = 300r/min; 驱动功率 P1= 500kW, 被驱动齿轮功率分别为P2= 150kW, P3= 150kW, P4= 200kW. 请画出轴的扭 矩图.
Me
60
2n
P
P[kW]
Me
9549
n[r
/
[N min]
m]
P[HP]
Me
7024
n[r
/
[N min]
m]
第八章 杆件的扭转
2. 轴的扭矩
Me
Me
材料力学
Me
T
n
轴受外力偶矩作用时，将在横截面上产生分布剪应 力，分布剪应力对质心的合力矩也是一个力偶矩， 通常称为扭矩，以 T(或 Mx)表示。单位kN.m。
T (kN·m)
Tmax = 9.56 kN·m , 位于 CA段上.
第八章 杆件的扭转
画扭矩图
M2
1
M3
2
M4
3
材料力学
M1
B
1C
2A
3
D
4.78 9.56
T (kN·m)
15.9
Tmax = 15.9 kN·m , 位于 AD段上.
第八章 杆件的扭转
§8-3 切应力互等定理、剪切胡克定律
1. 薄壁圆管的扭转
皮带的拉力 F1 和F2 产生力偶 矩. 若 F2>F1 则 Me=(F2-F1)D/2
第八章 杆件的扭转
齿轮
材料力学
作用在齿轮上的切向力产生力偶矩 Me=FtR
第八章 杆件的扭转
由转速和功率计算扭力矩
材料力学
标示牌 显示
功率 P (kW 或 HP) 旋转速度 n (r/min)
P Me 2 n / 60
对称扳手拧紧镙帽
第八章 杆件的扭转
实例
材料力学
传动轴 汽车传动轴
第八章 杆件的扭转
实例
材料力学
第八章 杆件的扭转
扭转的概念
M
材料力学
M
受力特征: 外力偶作用在垂直于轴线的平面内。
变形特征: 两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动，称为扭转角； 纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角(或称剪应变) 。
第八章 杆件的扭转
材料力学
薄壁圆管
R
R—平均半径 t (或δ)—筒壁厚度
t
薄壁 t<<2R
l
通常 t≤R/10
第八章 杆件的扭转
薄壁圆管的扭转
材料力学
变形现象：
(1)圆周线绕轴线相对转动 (2)圆周线的大小和间距不变 (3)各纵线倾斜同一角度 (4)矩形网格变为平行四边形
近似认为管内变形与管表面变形相同
第八章 杆件的扭转
E G
2(1 m)
第八章 杆件的扭转
§8-4 圆轴扭转时的应力和变形
材料力学
1. 实心圆轴横截面上的应力
T
变形现象
1 任意两圆周线之间 的距离保持不变.
2 纵线变为斜线.
T
3 圆周线的形状和大 小没有任何改变
4 径向直线仍然保 持为直线.
第八章 杆件的扭转
平面假设
材料力学
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为 平面，大小和形状不变，半径仍保持为直线，且相邻 横截面间的距离保持不变.
扭转的概念
M
材料力学
M
使杆件产生扭转变形的外力偶称为扭力偶，扭 力偶的矩称为扭力矩。（Me，kN.m）
承受扭矩并通过扭转传递力的杆件称为轴。
第八章 杆件的扭转
§8-2 轴的扭力矩、扭矩及扭矩图
1. 扭力矩的计算
材料力学
第八章 杆件的扭转
皮带轮或链条
材料力学
切线方向的力 F 产生力偶矩 Me=FR
第八章 杆件的扭转
推论
1.横截面上不产生正应力. (杆件的长度不变.)
2.横截面上产生剪应力. (纵向线变为斜线，横截面关于纵轴扭转.)
第八章 杆件的扭转
解:
首先计算各齿轮所受的外力偶矩.
M2
M3
M1
材料力学
M4
B
C
A
D
500
M1
(9549
) 300
N
m
15.9
kN
m
M2
M3
(9549
150 )N m 300
4.78kN m
200
M4
(9549
) 300
N
m
6.37
kN
m
第八章 杆件的扭转
材料力学
计算各段上的扭矩
M2
1
M3 2 M1