自动控制原理5第二节对数频率特性

wT 2.0 3.0 4.0 5.0 7.0 10 20 50 100
(w ) -63.4 -71.5 -76 -78.7 -81.9 -84.3 -87.1 -88.9 -89.4
当w 0时，(0) 0;当w 1 时，( 1 ) ;当w 时，() 。
T
T4
2
由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0, －45°)
-80
4
使用对数坐标图的优点：
可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的 表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。
可以将乘法运算转化为加法运算。
m1
m2
K
(1 i s)
(1
2
k
k
s
2 k
s
2
)e
Td
s
G(s)
i 1
k 1
n1
n2
s (1 Tj s) (1 2 lTl s Tl2 s 2 )
(w) K
0 180
K 0 K 0
180
7
K 0
⒉ 积分环节的频率特性：G(s) K
s
频率特性：
G( jw )
K
j
K
K
e2
jw w w
积分环节的Bode图
L(w) / dB
40 20
A(w ) K w
K 10 w
(w ) tg1( K 0)
w
2
L(w) 20log A(w) 20log K
第二节 对数频率特性
1
一、对数频率特性曲线（波德图，Bode图）
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。 ⒈波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：
横坐标(称为频率轴)分度：它是以频率w 的对数值 logw 进行 线性分度的。但为了便于观察仍标以w 的值，因此对w 而言是 非线性刻度。w 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为 十倍频程(或十倍频)，用dec表示。类似地，频率w 的数值变化
来计算只能求出±90°之间的值(tg-1函数的主值范围)，也就是
说当 w ( 1 , ) 时，用计算器计算的结果要经过转换才能得到 。 即当 w (T1 , ) 时，用计算器计算的结果要减180°才能得到 。
T
或用下式计算
(w) tg1 Tw 1 2 tg1 Tw 1 2
17
wk.baidu.com
微分环节的频率特性
10
0.1
8
0.2
0.3
4
0.5
0
0.7
0
1.0
0.3 0.4 0.5 0.6
0.7
-10
(w )
渐近线
40dB / Dec-4
-8
1
1
1
1
2
0.8 1.0
5
10
(deg)0° -30°
10T 5T
2T
T
T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下的
-60°
低频段：当Tw 1时，L(w) 20log K ，称为低频渐近线。
高频段：当Tw 1时，L(w) 20log K 20logTw ，称为高频渐近 线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示w 每增加10倍频程 下降20分贝）。
当w 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当w 时，趋近于高频渐近线。
m2
n1
20lg (1 w 2Tk2 ) j2 kTkw 20 v lg jw 20lg 1 jTjw
k 1
j 1
n2
20 lg (1 w 2Tl2 ) j2 lTlw l 1
(w)
m1 i1
tg 1 iw
m2 k 1
tg
1
2 kTkw 1 w 2Tk2
v 90
n1
w
20log K 20log w,
20 1 10 100
K 1，w 1, L(w) 0;
40
K 1
w 10，L(w) 20
可见斜率为－20/dec
(w)
w
K 1，w 1, L(w) 20 log K;
1 10 100
90
8
w K，L(w) 0 当有两个积分环节时可见斜率为 －40/dec
对数幅值 0 2 4 6 8 10 15 20 40 60 80
20lgA(w )
幅值A(w ) 1.00 0.79 0.63 0.50 0.39 0.32 0.18 0.10 0.01 0.001 0.0001
对数幅值 20lgA(w )
0
-2
-4 -6 -8 -10 -15 -20 -40 -60
tg 1Tkw
k 1
n2
tg 1
2 lTlw
l 1
1 w 2Tl2
57.3 Tdw
所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线(渐近线)近
似表示。
对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近 似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。
6
二、典型环节的波德图 ⒈ 比例环节： G(s) K ;
2T
T
T
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
10
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
当w wo 时，误差为：1 20log 1T 2w 2
当w wo 时，误差为：2 20log 1T 2w2 20logTw
wT
0.1 0.2 0.5 1 2 5
惯性环节的Bode图
⒊ 惯性环节的频率特性：
A(w ) K , 1 T 2w 2
G(s) K Ts 1
(w ) tg1Tw
G( jw ) K Tjw 1
①对数幅频特性：L(w) 20log A(w) 20log K 20log 1 T 2w2 ，为
了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函
数分别为： G(s) s G(s) 1 Ts
G(s) T 2s2 2Ts 1
频率特性分别为：
G( jw) jw G( jw) 1 jTw G( jw) 1 T 2w 2 j2wT
18
纯微分环节的波德图
j 1
l 1
m1
m2
K (1 j iw) [(1 w 2Tk2 ) j2 kTkw]e jTdw
G( jw ) i1
k 1
n1
n2
( jw) (1 jTjw) [(1 w 2Tl2 ) j2 lTlw]
j 1
l 1
5
m1
L(w) 20 lg G( jw ) 20 lg K 20 lg 1 j iw i 1
讨论 0 1时的情况。当K=1时，频率特性为：
G(
jw )
1
(1 T 2w 2 )
j2w T
幅频特性为：
A(w)
1
(1 T 2w2 )2 (2wT )2
相频特性为：
(w
)
tg
1
1
2wT T 2w
2
对数幅频特性为：L(w) 20log A(w) 20log (1T 2w2)2 (2wT )2
一倍频程
w
30 40 50 60 80 100 一倍频程
十倍频程 十倍频程
十倍频程
一倍频程 十倍频程
lgw
0
1
2
ω １ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lgω 0.000 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000
3
纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L(w)=20logA(w) 表 示。其单位为分贝(dB)。直接将 20logA(w) 值标注在纵坐标上。
一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct 表示。如下图所示：Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0 0.01 0.1
01
2
1 10 100
log w
w
由于w 以对数分度，所以零频率点在－∞处。
2
更详细的刻度如下图所示
1
2
3 4 5 6 7 8 910
20
一倍频程 一倍频程 一倍频程
wo
1 T
14 由图可见：对数幅频特性曲线有峰值。
谐振频率，谐振峰值
对 A(w) 求导并令等于零，可解得 A(w) 的极值对应的频率w p。
1 2 2 wp T
该频率称为谐振峰值频率。可见，谐振峰值频率与阻尼系数
有关，当
1 0.707 2
时，w p 0 ；当
1 时，无谐振峰值；
2
当 1 时，有谐振峰值。
10 最大误差发生在
L(w ),dB
-0.04 -0.2
-1
-3
-7
-14.2
-20.04
w
wo
1 T
处，为
渐近线,dB 0 0 误差,dB -0.04 -0.2
0 0 -6 -14 -1 -3 -1 -0.2
-20 -0.04
max 20 log 1 T 2w02
0
3(dB)
-1
-2
-3
-4
① 纯微分：
L(w )(dB)
A(w ) w
20
L(w ) 20 log A(w ) 20 logw
0 0.1
1
(w )
20
2
20dB / dec
微分环节
w(rad / s)
10 20dB / dec
积分环节
(w )(deg)
微分环节
90
0 0.1
90
1
10
积分环节
w(rad / s)
G( jw) K
比例环节的bode图
幅频特性：A(w) K；相频特性：(w) 0
L(w) / dB
20log K 20log K
20log K
K 1
K 1 log w
K 1
对数幅频特性：
0
L(w ) 20 lg K 常数 0
0
相频特性：
K 1 K 1 K 1
(w) 180
K 0 log w
低频段渐近线： Tw 1时，L(w) 0
高频段渐近线： Tw 1时，L(w) 20log (T 2w2)2 40logTw
两渐近线的交点 wo
13
1 T
称为转折频率。w>w0后斜率为-40dB/Dec。
振荡环节的波德图
G(
jw )
s2
10 0.6s
1
K 10,T 1, 0.3
40dB / Dec
相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。
一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横 坐标（频率轴）。
当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值 和增益的关系为：增益=20log (幅值)
幅值A(w ) 1.00 1.26 1.56 2.00 2.51 3.16 5.62 10.0 100 1000 10000
19
② 一阶微分： A(w) 1 T 2w2，(w) tg1Tw
一阶微分环节的波德图
L(w) 20lg 1 T 2w2 对数幅频特性（用渐近线近似）：
低频段渐近线：当Tw 1时，A(w) 1， 20 log A(w) 0 高频段渐近线：当Tw 1时，A(w) Tw，L(w) 20 log Tw
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1.0
-180°
1
1
10T 5T
16
1
1
2
2T
T
T
对数幅频特性和对数相频特性
图。上图是不同阻尼系数情况
下的对数幅频特性实际曲线与
渐近线之间的误差曲线。
5 T
10 T
当0.3<<0.8，误差约为±4dB
振荡环节的波德图
相频特性：
(w
)
tg
1
1
2wT T 2w
2
几个特征点：w 0,(w) 0;w 1 ,(w) ;w ,(w) 。
T
2
相频特性曲线在半对数坐标中关于( w0, －90°)点是斜对称的。
这里要说明的是当w (0, 1 ) 时，(w) (0,90) ,当 w ( 1 , )
T
T
时，(w) (90,180) 。此时若根据相频特性的表达式用计算器
2
M p A(w p ) 2
1
1 2
由幅频特性
A(w)
1
(1 T 2w2 )2 (2wT )2
当
w
w0
，A(w0 )
1
2
，L(w0) 20 lg 2 。
因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能 15 有很大的误差。
振荡环节的波德图
L(w ) 20
(dB)
16
0.1
12
0.2
低频高频渐近线的交点为：20log K 20log K 20logTw ，得：
Tw 1，wo
1 T
，称为转折频率或交换频率。
9 可以用这两段渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。
惯性环节的Bode图 10
渐近线
0
-10
20dB / Dec
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
1
1
2
5
10
20
20T 10T 5T
点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。
当时间常数T 变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不 变，仅仅是根据转折频率1/T 的大小整条曲线向左或向右平移即 可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。
12
振荡环节的频率特性
⒋
振荡环节的频率特性：
G(s)
T
2s2
K
2Ts
1
s2
Kwn2 2wns wn2
1
1
10T
5T
11
1
1
2
2T
T
T
5
10
T
T
②相频特性：(w) tg1Tw
惯性环节的波德图
作图时先用计算器计算几个特殊点：
wT 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0 (w ) -0.6 -1.1 -2.9 -5.7 -11.3 -16.7 -26.6 -35 -45