倾斜角与斜率

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2．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是 ( )．
A．0°≤α＜90°
B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线
l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是
90°＜α＜180°.
答案 C
3．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为
温馨提示：直线的倾斜角概念的理解注意三个方面：
(1)直线与x轴相交；
(2)x轴正方向；
(3)直线向上的方向
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2．斜率的概念及斜率公式
定义
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的_正__切__值_____ 叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝_t_a_n_α____
当α＝0°时，__k_＝__0_;当0°＜α＜90°时，__k_＞__0__; 取值范围 当90°＜α＜180°时，___k_＜__0___；当α＝90°时，
＝tan α注意 α≠90°；
对 k＝xy22－－xy11注意 x1≠x2，对不满足公式适用条件的可能情况，
要多加考虑，不可忽略.
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课堂达标
1．下列说法中，正确的是
( )．
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
解析 对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正
确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°
时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平
行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D.
答案 D
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【活学活用2】 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的 直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
解 如图所示，由题意可知 kPA＝－4－3－01
＝－1，kPB＝23－ －01＝1.
(1)要使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值 范围是 k≤－1，或 k≥1. (2)由题意可知，直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角 之间，
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则 kPA＝12－－（（－－23））＝53，kPB＝－4－ 1－（（－－3） 2）＝7. ∴53≤k≤7，∴xy＋＋32的最大值为 7，最小值为53.
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易错辨析 因忽略两点斜率公式的条件而致错
【示例】 求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并 指出倾斜角α的取值范围． [错解] 由斜率公式可得 k＝m3－－21＝m－1 1.
答案 D
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5．已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜
角为60°.
解 ①当点 P 在 x 轴上时，设点 P(a，0)，
∵A(1，2)，∴k＝0a－ －21＝a－－21.
又∵直线 PA 的倾斜角为 60°， ∴tan 60°＝a－－21.解得 a＝1－233.
∴点
又 PB 的倾斜角是 45°，PA 的倾斜角是 135°，
所以 α 的取值范围是 45°≤α≤135°.
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类型三 斜率公式的应用
【例 3】 已知实数 x，y 满足 y＝－2x＋8，且 2≤x≤3，求xy的最 大值和最小值．
[思路探索] 化xy＝xy－－00利用斜率公式数形结合求解．
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类型二 求斜率及其范围
【例2】 已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4，2)， B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围． [思路探索] 由已知画出图形，由斜率公式求出kPA， kPB，利用数形结合思想解决． 解 根据题中的条件可画出图形，如图所示， 又可得直线 PA 的斜率 kPA＝－32，直线 PB 的 斜率 kPB＝43，
P
的坐标为1－23
3，0.

②当点 P 在 y 轴上时，设点 P(0，b)，
同理可得 b＝2－ 3，∴点 P 的坐标为(0，2－ 3)．
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课堂小结
1．直线的斜率和倾斜角是从数和形两个角度来刻画直线的 坐标系中的倾斜程度，要理解k＝tan α(α≠90°)在0°≤α ＜90°和90°＜α＜180°上的变化情况．
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【活学活用1】 (1)已知点P(1，1)，直线l过点P且不经过第四
象限，则直线l的倾斜角α的最大值为
( )．
A．135°
B．90° C．45° D．30°
(2)如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为
( )．
A．k1＜k2＜k3 C．k2＜k1＜k3
2．注意两个公式的适用条件，注意考虑直线垂直于x轴这种 情形，善于运用分类讨论、数形结合思想来思考和解决 问题.
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结合图形可知当直线 l 由 PB 变化到与 y 轴平行的位置时，它
的倾斜角逐渐增大到 90°，故斜率的取值范围为43，＋∞， 当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时，它的倾斜角 由 90 ° 增 大 到 PA 的 倾 斜 角 ， 故 斜 率 的 变 化 范 围 是
－∞，－32. 综上可知，直线 l 的斜率的取值范围是
－∞，－32∪43，＋∞. [规律方法] (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k
＝tan α(α≠90°)解决
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k＝xy22－－xy11(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
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新知导学
1．倾斜角的概念和范围
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_正__方__向__
与直线l_向__上__方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 当直线l与x轴_平__行__或_重__合__时，我们规定它的倾斜角为 0°.直线的倾斜角α的范围是_0_°__≤α＜_1_8_0_°_．
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[规律方法] 若所求最值或范围的式子可化为xy22－ －yx11的形式， 则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解．
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【活学活用 3】 已知实数 x，y 满足 y＝x2－x＋2(－1≤x≤1)， 试求xy＋ ＋32的最大值和最小值．
解 由xy＋ ＋32的几何意义可知，它表示经过定点 P(－2，－3)与 曲线段 AB 上任一点(x，y)的直线的斜率 k，由图可知 kPA≤ k≤kPB，由已知可得 A(1，2)，B(－1，4)．
B．k1＜k3＜k2 D．k3＜k2＜k1
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解析 (1)如图，因为直线l不经过第四象限， 故当直线l处于图示位置，即过坐标原点(0，0) 时，它的倾斜角有最大值．易求得其值为
45°，故选C. (2)设直线l1、l2、l3的倾斜角分别为α1、α2、α3，则0°＜α1＜ α2＜α3＜90°，故k1＜k2＜k3，选A. 答案 (1)C (2)A
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
【课标要求】 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念． 2．掌握求直线斜率的两种方法． 3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．
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【核心扫描】 1．求直线的倾斜角和斜率．(重点) 2．常与三点共线、平面几何知识等结合命题．(难点) 3．准确把握与y轴平行或重合的直线的倾斜角和斜率．(易混点)
①当 m>1 时，k＝m－1 1>0，所以直线的倾斜角的取值范围
是 0°<α<90°.
②当 m<1 时，k＝m－1 1<0，所以直线的倾斜角的取值范围
是 90°<α<180°.
[错因分析] 未考虑两点斜率公式运用的条件从而忽略了对 m＝1情况．
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[正解] 当 m＝1 时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为 α ＝90°.
斜率___不__存__在____
过两点的 直线的斜 率公式
直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率 k＝__xy_22－－__xy_11__＝xy11－－xy22(x1≠x2)
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温馨提示 (1)直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联 系．它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的．但倾 斜角是角度，是直线倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直 线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便． (2)直线的倾斜角α与斜率的关系如下表：
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解析 有两种情况： ①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直 线l的倾斜角为60°. ②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即 直线l的倾斜角为120°. 答案 60°或120° [规律方法] (1)由已知角推断倾斜角，常画出图形，借助图 形来解决，注意画图时要考虑出现的各种情况． (2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k＝tan α在0°≤α＜ 90°及90°＜α＜180°的增减性来判断．
解 如图所示，由于点(x，y)满足关系式 2x＋y ＝8，且 2≤x≤3，可知点 P(x，y)在线段 AB 上 移动，并且 A，B 两点的坐标可分别求得为 A(2， 4)，B(3，2)．
由于xy的几何意义是直线 OP 的斜率，
且 kOA＝2，kOB＝23，
所以可求得xy的最大值为 2，最小值为23.
当 m≠1 时，由斜率公式可得 k＝m3－－21＝m－1 1.
①当 m＞1 时，k＝m－1 1＞0，所以直线的倾斜角的取值范围是 0°＜α＜90°. ②当 m＜1 时，k＝m－1 1＜0，所以直线的倾斜角的取值范围是 90°＜α＜180°. [防范措施] 学习定理、公式一定要注意它们的适用条件，对 k
________．
解析 由过两点的直线的斜率公式，知直线 AB 的斜率
为40－ －21＝－2.
答案 －2
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4．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y
等于
( )．
A．1 B．5
C．－1
D．－5
解析 由斜率公式可得：4y＋ －32＝tan 135°，
∴y＋2 3＝－1，∴y＝－5.∴选 D.
平行(或重 直线情况
合)于x轴
由左向 右上升
垂直于 x轴
由右向 左上升
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
斜率的 0
取值范围
(0，＋∞) 不存在 (－∞，0)
斜率的 增减性
单调增
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单调增
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互动探究
探究点1 直角坐标系中的任何一条直线是否都有一个倾斜 角？ 提示 是．
探究点2 (1)与x轴垂直的直线l倾斜角等于多少度？其斜率存 在吗？ (2)不垂直于x轴的直线l的斜率的大小与在l上取的两个点 有关吗？ 提示 (1)90° 不存在 (2)无关
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类型一 直线的倾斜角与斜率的概念
【例1】 已知直线l向上方向与y轴正向所在的角为30°，则 直线l和倾斜角为________． [思路探索] 直线的倾斜角的定义中 强调直线向上方向与x轴正向所成的 角，才是直线的倾斜角，因而将l与y 轴正向所成的30°角转化即可．