8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图

相同的是
A.①② C.①④ B.①③ D.②④
（ D）
解析
在各自的三视图中①正方体的三个视图
都相同；②圆锥的两个视图相同；③三棱台的
三个视图都不同；④正四棱锥的两个视图相同， 故选D.
4.（2008·广东理，5）将正三棱柱截去三个角
（如图1所示），A，B，C分别是△GHI三边的 中点得到几何体如图2，则该几何体按图2所示 方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
答案 2 2
题型三
几何体的三视图
【例3】 (2009·山东，4)一空间几何体的三视图 如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 2 π 2 3 C. 2 π 2 3
3
B. 4 π 2 3 D. 4 π 2 3
3
思维启迪 由几何体的三视图，画出几何体的直 观图，然后利用体积公式求解.
到，其上下底面的两个多边形相似.
2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线 旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在 直线 旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等 腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由 平行于圆锥底面 的平面截圆锥得到.
(4)球可以由半圆或圆绕其 直径 旋转得到.
相同的三棱锥叠放在一起构成的几何
体,各面都是三角形，但它不一定是棱锥.
B错误.如下图，若△ABC不是直角三角
形或是直角三角形,但旋转轴不是直角 边，所得的几何体都不是圆锥. C错误.若六棱锥的所有棱长都相等， 则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正
六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.
D正确.
3.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥
的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( C )
A.30° C.60° 解析 B.45° D.90° 设母线为l,底面半径为r，则π l=2π r.
r 1 , ∴母线与高的夹角为30°.∴圆锥的顶 l 2
角为60°.
4.三视图如下图的几何体是
（B ）
答案 D
题型二
几何体的直观图
【例2】 一个平面四边形的斜二测画法的直观图 是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面
积等于( A.
2 2 a 4
) B. 2 2a 2 C. 2 a 2 D. 2 2 a 2 2 3 按照直观图的画法，建立适当的坐
思维启迪 标系将正方形A′B′C′D′还原，并利用平面
知能迁移3
一个几何体的三视图如图所示，其中正 （B ）
视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几
何体的侧面积为
A. 3 π
解析
3
B. 2 π
C.3 π
D. 4 π
由三视图知，该几何体为一圆锥，其中
底面直径为2，母线长为2，S侧=π rl =π ×1×2=2π .
题型四
多面体与球
【例4】 （12分）棱长为2的正四面体的四个顶点 都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面
［Leabharlann Baidu分］ ［8分］
ABE的面积为 1 1 8 S BE AF 3 2. 2 2 3 所求的三角形的面积为 2.
［12分］
探究提高 解决这类问题的关键是准确分析出组
合体的结构特征,发挥自己的空间想象能力,把立
体图和截面图对照分析,有机结合,找出几何体中
的数量关系,为了增加图形的直观性,常常画一个
三角形，但这个多面体不是棱锥；
B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形
是四面体也必定是个三棱锥； C是错误的，如图所示，棱锥的侧面 是全等的等腰三角形，但该棱锥 不是正三棱锥；
D也是错误的，底面多边形既有内切
圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形， 因此不是正棱锥. 答案 B
3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图
之间的关系S′=
知能迁移2
2 S , 能进行相关问题的计算. 4 如图所示，直观图四边形
A′B′C′D′是一个底角为45°，
腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面
积是
.
解析
把直观图还原为平面图形得：
直角梯形ABCD中，AB=2，BC=1+ 2 ，AD=1，
1 面积为 (2 2 ) 2 2 2. 2
解析
当三棱锥没有截去三个角时的侧视图如图
（1）所示，由此可知截去三个角后的侧视图如 图（2）所示.
答案
A
5.已知△ABC的直观图是边长为a的等边△A1B1C1
(如图)，那么原三角形的面积为 （ ）
A.
3 2 a 2
B. 3 a 2 4 D. 6a 2
C. 6 a 2 2
解析
在原图与直观图中有OB=O1B1，BC=B1C1.
A.三棱锥
C.四棱台 解析
B.四棱锥
D.三棱台
由三视图知该几何体为一四棱锥，其中
有一侧棱垂直于底面,底面为一直角梯形.故选B.
5.等腰梯形ABCD，上底CD=1，腰AD=CB= 2 ，下
底AB=3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画 法画出的直观图A′B′C′D′的面积为 解析
2 2
.
1 2 OE ( 2 ) 1 1, OE , E ' F , 2 4 1 2 2 直观图ABC D的面积为S (1 3) . 2 4 2
两垂直
D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 解析 根据正四棱柱的结构特征加以判断.
2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是
圆，则这个几何体一定是（ C ） A.圆柱 B.圆锥 C.球体
D.圆柱、圆锥、球体的组合体
解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截 面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面 都是圆面.
面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面
边长的一半构成的直角三角形中解决. 3.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这 一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面.
失误与防范
1.台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截
面与底面平行.
2.掌握三视图的概念及画法 在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面 的交线是它们的分界线.在三视图中，分界线和可 见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚
正确的,底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底 面不垂直,故命题②是错误的,因直四棱柱的底面 不一定是平行四边形,故命题③是错误的,命题④ 由棱台的定义知是正确的.
答案
①④
探究提高 解决该类题目需准确理解几何体的定 义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通
过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错
误的，设法举出一个反例即可.
(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观 图中平行于 x′轴、y′轴 . (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长 度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来 的一半 . (4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面， 在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平 面,已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中 仍平行于z′轴且长度 不变 .
在直观图中，过A1作A1D1⊥B1C1，
因为△A1B1C1是等边三角形，
3 a, 2 在Rt△A1O1D1中，∵∠A1O1D1=45°，
所以A1D1=
∴ O1 A 1 =
6 a, 2 6 根据直观图画法规则知： OA 2O1 A1 2 a 6a, 2 ∴△ABC的面积为 1 a 6a 6 a 2 . 2 2 答案 C
定时检测
一、选择题
1.如图是由哪个平面图形旋转得到的
（ A）
解析
几何体的上部为圆锥，下部为圆台，只
有A可以旋转得到，B得到两个圆锥，C得到一圆 柱和一圆锥，D得到两个圆锥和一个圆柱.
2.下列命题中，成立的是 B.四面体一定是三棱锥
（
）
A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一 定是正棱锥 D.底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱 相等的棱锥一定是正棱锥 解析 A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥 的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是
第八编 立体几何
§8.1 空间几何体的结构及其三
视图和直观图
基础知识
要点梳理
1.多面体的结构特征
自主学习
(1)棱柱的上下底面 平行 ，侧棱都平行且长度
相等 ，上底面和下底面是 全等 的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 公 共点 的三角形.
(3)棱台可由平行于棱锥底面 的平面截棱锥得
5.中心投影与平行投影 (1)平行投影的投影线 互相平行 ，而中心投影的 投影线 相交于一点 . (2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画 出的直观图都是在 平行 投影下画出来的图形.
基础自测
1.一个棱柱是正四棱柱的条件是（ C ） A.底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两
解析
该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，
圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π ，四棱锥 的底面边长为 2 ，高为 3 ，所以体积为 1 ( 2 ) 2 3
2 3 2 3 所以该几何体的体积为 2 π . 3 , 3 3 答案 C
探究提高 通过三视图间接给出几何体的形状,打
破以往直接给出几何体并给出相关数据进行相关 运算的传统模式,使三视图与传统意义上的几何体 有机结合,这也体现了新课标的思想.
截面圆作为衬托.
知能迁移4
在一个倒置的正三棱锥容器内,放入
一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经 过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形 是( B )
解析
正三棱锥的内切球心在高线上,与侧面有
公共点,与棱无公共点.
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质，并能 灵活应用. 2.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底
几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注
意线段和角的变化规律.
解析
根据斜二测画法画平面图形的直观图的规
则可知,在x轴上(或与x轴平行)的线段,其长度保持 不变;在y轴上(或与y轴平行)的线段,其长度变为原 来的一半,且∠x′O′y′=45°(或135°),所以, 若设原平面图形的面积为S,则其直观图的面积为
知能迁移1
下列结论正确的是（
）
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余 两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则
此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线 都是母线 解析 A错误.如图所示，由两个结构
1 2 2 S S S . 可以得出一个平面图形的面积S 2 2 4
与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=
本题中直观图的面积为a2，
2 S, 4
a2 2 2a 2 . 所以原平面四边形的面积 S 2 答案 B 4
探究提高 对于直观图,除了解斜二测画法的规
则外,还要了解原图形面积S与其直观图面积S′
线.并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样
宽”.
3.掌握直观图的概念及斜二测画法 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.
“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；
平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” 4.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图； 也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图. 提升空间想象能力.
3.空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用 正投影 得到,这种投 影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平 面图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括 正视图 、 侧视图、 俯视图 .
4.空间几何体的直观图
画空间几何体的直观图常用 斜二测 画法，基 本步骤是： (1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴 相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′ 轴、y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′ =45°（或135°） .
2
题型分类
题型一
深度剖析
几何体的结构、几何体的定义
【例1】 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.
其中真命题的序号是 .
思维启迪 利用有关几何体的概念判断所给命题 的真假.
解析
命题①符合平行六面体的定义,故命题①是
如图所示，求图中三角形（正四面体的截面） 的面积.
思维启迪 截面过正四面体的两顶点及球心，
则必过对边的中点.
解
如图所示，△ABE为题中的三角形，
3 由已知得AB 2, BE 2 3, 2 2 2 3 BF BE , 3 3 4 8 2 2 AF AB BF 4 , 3 3