有关曲线积分、曲面积分的对称性研究

北方民族大学学士学位论文

论文题目:有关曲线积分、曲面积分的对称性研究

院(部)名称: 数学与信息科学学院

学生姓名: 陈敏

专业: 数学与应用数学学号: 20110536

指导教师姓名: 杨莉

论文提交时间: 2015.5.18

论文答辩时间: 2015.5.24

学位授予时间:

北方民族大学教务处制

有关曲线积分、曲面积分的对称性研究

摘要

积分在微积分学中既是重点又是难点，尤其是在解决积分的计算问题上，方法比较灵活、多样.然而，在很多时候，只要认真地审视题目，就会发现积分区域或被积函数具有某种对称性.倘使我们能将对称性原理巧妙地应用到曲线积分、曲面积分的计算问题中去，不但节省了很多时间，还会起到事半功倍的效果.

本文着重讲述了，常见的有关对称性在曲线积分、曲面积分计算中的几个重要结论，并结合实例进一步验证了：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性来简化计算曲线积分和曲面积分，进而说明对称性在计算曲线积分、曲面积分中的可行性与优越性.

关键词：曲线积分，曲面积分，积分区域，对称性，奇偶性

The study of symmetry related surface integral、curve integral

Abstract

Integral in the calculus is both emphasis and difficulty, especially to deal with the problem of integral calculation, the method is more flexible and diverse. However, in many cases, as long as you carefully look at the title, you will find the integral region have a certain symmetry or integrand. If we can apply symmetry principle of opportunely clever ground to the curvilinear integral and surface integral calculation problem, not only save a lot of time, will get twice the result with half the effort effect.

This paper tells the common about symmetry in curvilinear integral and surface integral calculation of several important conclusions, combined with the instance: further verified using the symmetry of integral area of and the parity of integrand to simplify the calculation of curvilinear integral and surface integral, and then explain symmetry in computational feasibility and superiority of curvilinear integral and surface integral.

Keywords: curvilinear integral and surface integral, integral area, symmetry, parity

目录

第一章绪论 (1)

1.1研究背景 (1)

1.2 研究意义 (1)

1.3 研究思路及结构安排 (1)

第二章曲线积分与曲面积分的概念 (3)

2.1 对弧长的曲线积分 (3)

2.2 对面积的曲面积分 (4)

2.3 对坐标的曲线积分 (5)

2.4 对坐标的曲面积分 (6)

2.4.1 双侧曲面与有向曲面 (6)

第三章曲线积分与曲面积分的对称性 (9)

3.1 曲线积分 (9)

3.1.1 第一类曲线积分的对称问题 (9)

3.2.1 第一类曲面积分的对称问题 (13)

第四章对称性解题总结 (17)

4.1 对称性解题的优势 (17)

4.2 对称性解题应注意的事项 (17)

结束语 (18)

致谢 (19)

参考文献 (20)

第一章绪论

1.1研究背景

我们都知道，对称在客观物质世界中是普遍存在的，能给人以美的享受.对称性作为人类了解客观物质世界的结晶，与人类的文明同样悠远.对称性几乎涉及到我们生活的方方面面，生活中的好多东西都是按照对称性来构造的.我们的祖先从认识自然界的形象对称开始到现在对称性的实体研究，无不应用到对称性.然而，所谓的对称性便是在某种变换下的不变性或组元的构形在其本身同构变换群下所拥有的不变特性.

实际上，对称的概念在众多学科中的应用是很广泛的.高中数学经常涉及到对称问题，既有几何中的轴对称、中心对称，还有代数中的方程和不等式的对称；不仅有物理上的镜面对称，而且有数学上的正弦曲线；不但有化学中的结构对称，还有数学中的方程对称.对称是数学美一种外在表现形式，更为重要的是对称也是一种思想方法，它不光是思考问题的出发点，还是探索解题策略的良好器具.灵活地运用对称性来解决相关数学类问题是当代大学生必须具备的数学素养.以后我们应多注重对称性在数学解题中的应用，在很多时候可以起到事半功倍的效果.

1.2 研究意义

数学是一个奇幻的科学世界，对称性是数学美的一个重要特征，同时也为数学研究提供了一种很独特的思想方法，还是一个非常重要的艺术要素.在日常生活和科学研究中常会碰到的一类很特别的数学问题，即：对称性问题.它不仅存在于中学函数中，还存在于大学的微积分中，其应用十分广泛.

我们都知道，微积分是大学数学中相当重要的内容，而积分计算在其中既是重点又是难点，在此过程中，尤其是有关曲线积分、曲面积分的计算，稍不注意就会出错.不过，在很多时候，我们经常会遇见积分区域或者被积函数具备某种对称性的题目.而要解决此类问题，就必须仔细审题，看是否具有对称性.假如我们能在审题中察觉或者留意到问题的对称性，并灵活地应用到积分的计算过程当中去，不时能够简化计算过程，获得出乎意料的成效.所以，很有必要探究对称性在积分计算中的应用，特别是在曲线积分、曲面积分中的应用.

1.3 研究思路及结构安排

本文首先指出所要研究的方向，指出其研究意义.其次概括了曲线、曲面积分的背景、定义以及一些简单的性质，而后给出计算曲线、曲面积分的诸多结论，利用这些结论来简化计算曲线积分和曲面积分.最后对本文内容进行分析总结.

本文总共四章，其布局筹划如下:第一章绪论，主要讲述有关曲线积分和曲面