1.4全称量词与存在量词(全部).ppt

用符号“
”表示。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。
三、新知建构，典例分析 全称命题举例：
命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形。
命题符号记法：
通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示，变量x 的取值范围用M表示，那么，
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”可用符号简记为：
两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题。
（3）由于存在整数 3 只有两个正因数 1 和 3，。所以，特称命题
“有些整数只有两个正因数”是真命题。
全称命题、特称命题的表述方法：
命题 全称命题 x M , p(x) 特称命题 x0 M , p(x)
①所有的x∈M，p(x)成立 ①存在x0∈M，使p(x)成立 ②对一切x∈M，p(x)成立 ②至少有一个x0∈M，使 ③对每一个x∈M，p(x)成 p(x)成立
x M，Fra Baidu bibliotek(x),
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
例如：x R,sin 2x 2sin x cos x
例.下列命题是否是全称命题？ （1）每一个三角形都有外接圆； （2）一切的无理数都是正数； （3）实数都有算术平方根.
全称命题所描述的问题的特点： 给定范围内的所有元素（或每一个元素）都具有某
x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
三、新知建构，典例分析
从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变 成了全称命题. 一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定, 有下面的结论:
特称命题 p : x M,p(x)
表 述
立
③对有些x0∈M，使p(x)成
④任选一个x∈M，p(x)成 立
方立
④对某个x0∈M，使p(x)成
法 ⑤凡x∈M，都有p(x)成立 立
⑤有一个x0∈M，使p(x)成
写出下列命题的否定
1)所有的矩形都是平行四边形；x M,p(x)
2)每一个素数都是奇数； x M,p(x)
3)x R, x2 2x 1 0
命题：有的平行四边形是菱形； 有一个素数不是奇数。
特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ” 可用符号简记为：
x0 M，p(x0 ),
读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
例2 判断下列特称命题的真假： (1)有一个实数x0, 使x02+2x0+3=0； (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线； (3)有些整数只有两个正因数.
语句(1)(2)不能判断真假常，见不的是存命在题量词；还有 语句(3)(4)可以判断真假“，有是些命”题“。有一个”
“对某个”“有的”等 。 存在量词、特称命题定义：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“ ”表示。
含有存在量词的命题，叫做特称命题。
三、新知建构，典例分析 特称命题举例：
问题引入：下列命题中含有哪些量词？
（1）对所有的实数x，都有x2≥0； （2）存在实数x，满足x2≥0； （3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立； （4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立； （5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s
= n × n；
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。
语句(1)(2)不能判断真假，常见不的是全命称题量；词还有
语句(3)(4)可以判断真假“，一是切命”题“。每一个”
“任给” “所有的”等 。
全称量词、全称命题定义：
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并
全称命题p: x M , P(x), 它的否定p： x M，p（x）.
全称命题的否定是特称命题.
探究
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数；
2)某些平行四边形是菱形； 3)x R, x2 1 0
否定:
1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)所有平行四边形都不是菱形;
3) x R, x2 1 0
它的否定 p : x M,p(x)
特称命题的否定是全称命题.
例3 写出下列全称命题的否定,并判断真假： （1）p:所有能被3整除的整数都是奇数；
p : 存在一个能被 3整除的整数不是奇数 .
（2）p:每一个四边形的四个顶点共圆；
p:存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
（3）p: 对任意 x∈Z，x2的个位数字不等于3.
x M,p(x)
否定:
1)存在一个矩形不是平行四边形；x M,p(x)
2)存在一个素数不是奇数；
3)x R, x2 2x 1 0
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
三、新知建构，典例分析
从命题形式上看,这三个全称命题的否定都 变成了特称命题.
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论:
解 ：（ 1 ） 由 于 xR, x2 2x 3 (x 1)2 2 2, 因 此 使
x2 2x 3 0的实数 x 不存在。所以，特称命题“有一个实数 x0 ， 使 x02 2x0 3 0 ”是假命题。
（2）由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不
存在两个相交的平面垂直于同一条直线。所以，特称命题“存在
种共同的性质。
注意：在写全称命题时，为了避免歧义，一般不要 省略全称量词。
例1 判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数是奇数；
（2） x∈R，x2＋1≥1；
（3）对每一个无理数x，x2也是无理数；
解：（1）2 是素数，但 2 不是奇数。所以，全称命题“所有的素
数是奇数”是假命题。
（ 2 ） xR ,总有x2 0,因而x2 11. 所 以 ， 全 称 命 题
“xR,x2 11”是真命题。
（3） 2 是无理数，但( 2)2 2是有理数。所以，全称命题“对
每一个无理数 x ， x2也是无理数”是假命题。
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？
(1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x0∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除。