数字信号处理作业-答案

数字信号处理作业

DFT 习题

1. 如果)(~

n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为N 2的周期序列。把

)(~n x 看作周期为N 的周期序列，令)(~1k X 表示)(~n x 的离散傅里叶级数之系数，再把)

(~

n x 看作周期为N 2的周期序列，再令)(~

2k X 表示)(~

n x 的离散傅里叶级数之系数。当然，

)(~1k X 是周期性的，周期为N ，而)(~2k X 也是周期性的，周期为N 2。试利用)(~

1k X 确定)(~

2k X 。（76-4）

2. 研究两个周期序列)(~n x 和)(~n y 。)(~n x 具有周期N ,而)(~

n y 具有周期M 。序列

)(~n w 定义为)()()(~

~~n y n x n w +=。

a. 证明)(~

n w 是周期性的，周期为MN 。

b. 由于)(~

n x 的周期为N ，其离散傅里叶级数之系数)(~

k X 的周期也是N 。类似地，

由于)(~

n y 的周期为M ，其离散傅里叶级数之系数)(~

k Y 的周期也是M 。)(~

n w 的离散傅里叶级数之系数)(~

k W 的周期为MN 。试利用)(~

k X 和)(~

k Y 求)(~

k W 。（76-5）

3. 计算下列各有限长度序列DFT （假设长度为N ）:

a. )()(n n x δ= b ．N n n n n x <<-=000)()(δ

c ．10)(-≤≤=N n a

n x n

（78-7）

4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10）

5. 令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换

(a ） 证明如果)(n x 满足关系式：)1()(n N x n x ---=，则0)0(=X 。

(b ） 证明当N 为偶数时，如果)1()(n N x n x --=，则0)2/(=N X 。（80-14）

6. 令)(k X 表示N 点序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点序列。如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。（82-15）

7. 若)(n x 为一个N 点序列，而)(k X 为其N 点离散傅里叶变换，证明：

∑∑

-=-==10

k 2

1

2

)k (X N 1)(N N n n x ，这是离散傅里叶变换的帕斯维尔关系式。（82-16）

8. 长度为8的一个有限时宽序列具有8点离散傅里叶变换)(k X ，如图所示。长度为16

的一个新的序列)(n y 定义为：

⎪⎩⎪⎨⎧=为奇数

为偶数n n n

x n y 0)2()(，试画出相当

于)(n y 的16点离散傅里叶变换的略图。（86页-18）

k

X[k]

0 1 2 3 4 5 6

7

9. 令()x n 表示z 变换为()X z 的无限时宽序列，而1()x n 表示长度为N 的有限时

宽序列，其N 点离散傅立叶变换用1()X k 表示。如果()X z 和1()X k 有如下关系：1()()|, 0,1,2,

,1k N

z W X k X z k N -===-

式中2j

N

N W e

π-=。试求()x n 和1()x n 之间的关系。（93-22）

10. 令)(ω

j e

X 表示序列)()2/1()(n u n x n =的傅里叶变换，并令)(n y 表示长度为10的一

个有限时宽序列，即0n 时，0)(=n y ，)(n y 的10点离散傅里叶变换用)(k Y 表示，它相当于)(ω

j e

X 的10个等间隔取样，即

)()(10/2k j e X k Y π=，试求)(n y （94-23）

11. 讨论一个长度为N 的有限时宽序列)(n x ，0N n 时，0)(=n x ，我们要求

计算其z 变换)(z X 在单位圆的M 个等间隔点上的取样。取样数M 小于序列的时宽

N ；即N M ≤，试求一种得到)(z X 的M 个取样的方法，它只要计算一次M 点序列

（这个序列是由)(n x 得来的）的M 点离散傅里叶变换。（96-25）

12. 研究两个0

时

当时

当20n 0)(8n 0)(≥=≥=n y n x ，将每一个序列的20点离散傅里叶变换，然后计算离散傅里叶反变

换，令)(n r 表示它的离散傅里叶反变换，指出)(n r 的哪些点相当于)(n x 与)(n y 线性卷积中的点。（96-26）

FFT 习题

1. 假设有一计算如下离散傅里叶变换的程序：

1,...,1,0)()(10)/2(-==∑-=-N k e n x k X N n kn

N j π，试指出如何用此程序来计算如下反变换：

1,...,1,0)(1)(10)/2(-==∑-=-N n e

k X N n x N k kn N j π（193-8）