五年级统计与概率分析

重点是：
平均分成三部分，红、黄、蓝各占1/3，就可保 证游戏的公平性。
正方体各部分都 很均匀和规则， 所以投掷后6个面 朝上的可能性相 等，都是1/6。
第2题，转盘被平 均分成了四部分， 故指针停在四种颜 色区域的可能性相 等，都是1/4。如 果转动指针100次， 因指针停在每种颜 色区域的机会均等， 所以停在红色区域 的次数大约就是 100÷4=25（次）。 先说说自己的 看法，再动手 试验，多投几 次，作好记录， 以发现其中的 概率规律。
第1题，从4张数字卡片中任意抽取两张，这是 一个组合问题，共有 种，分别是：①2，3；② 2，7；③2，8；④3，7；⑤3，8；⑥7，8。其 中第一种和第五种情况下两数的乘积既是2的整 数倍又是3的整数倍，所以可排除，即有效的组 合有4种。在这4种组合中，乘积是2的整数倍的 有3种（2，7；2，8；7，8），乘积是3的整数 倍的有1种（3，7），所以这个玩法不公平。
最简单的等可能性事件，即两 个事件发生的可能性都为1/2
呈现抛硬币场景
提出问题
引出教学内容
说明用抛硬币 的方法决定谁 开球对比赛双 方是公平的。
1.小组合作抛掷硬币（100次），统计 出现正反面出现的次数，小组汇报结果， 汇总各小组实验结果，分析实验结果， 说明：当试验的次数增大时，正面朝上 的频率和反面朝上的频率都越来越逼近 12。这就是概率的统计定义思想。 2.注意实验结果：频率与概率的区别。 3.实验次数越多，频率越稳定。 概率论发展史上，有许多数学家也做 过这个试验，其结果如下：
一、教学内容
1.事件发生的可能性以及游戏规则的公平性，会求简单事件发生的概率。 关于“可能性”，教材分两次编排。三上，让学生初步体验有些事件的发生是确定 的，有些则是不确定的；本册是在三年级基础上的深化，对“可能性”的认识和理 解逐渐从定性向定量过渡，不但能用恰当的词语来表述事件发生的可能性大小，还 要学会通过量化的方式，用分数描述事件发生的概率。 2.中位数的统计意义及计算方法。 三年级已学过平均数，知道平均数是描述数据集中程度的一个统计量，用它来表示 一组数据的情况，具有直观、简明的特点。但是当一组数据中有个别数据偏大或偏 小时，用中位数来代表该组数据的一般水平就比平均数更合适。
根据已有的规则，为了使游戏公平，则必须换 掉卡片 或卡片 ，并且新加的数字卡片应满足如 下条件：该数字是不能被3整除的单数，如5。 教学时，应注意说明当两个数的乘积既不能被2 整除又不能被3整除时，也要重来。
第2题，投掷一粒骰子，朝上的数 字有6种可能的结果，根据乘法原 理，同时掷两粒骰子时，则可能 出现的结果共有6×6=36种，并 且这36种结果出现的可能性都相 等，均为1/36。与此对应，36种 情况下两个数字的和的分布情况 如下表阴影部分所示：
2.通过第 3小题体 会中位数 在一组数 据中的位 置。
3.教师小 结。
第1题，可以先让学生根据7名同学的成绩估一估他们跳绳的一般水平大约应是多少，然后再分别计 算出平均数和中位数，比较后发现用中位数140来表示该小组同学跳绳的一般水平合适，因为平均数 是144，而7人中有5人的成绩都低于该数值，所以不具有代表性。进一步探究会发现，造成平均数偏 大的原因是7人中有一个同学的成绩是172，大大高于该组同学的一般水平，从而抬高了平均数。
第2题，本题的编写意图有两点：一是使学 生认识到当一组数据中没有特别偏大或偏小 的数据时，平均数和中位数这两个统计量都 能较好地反映该组数据的情况；二是让学生 初步理解中位数与平均数的大小关系，使学 生对以下事实有所感悟：当一组数据中所有 比中位数小的数与中位数之差的和小于所有 比中位数大的数与中位数之差的和时，中位 数就比平均数小，反之中位数就比平均数大。 如在本题中，中位数是1/2×（15+17）=16， 比16小的所有数据与中位数之差的和是 7+4+1=12，比16大的所有数据与中位数之 差的和是1+5+14=20，因为12＜20，所以中 位数就比平均数小。实际教学时，不必在理 论上讲得这么深刻和严密，只要学生能理解 以下事实就行：如果一组数据中个别数据严 重偏大，则往往会抬高平均数，使平均数大 于中位数；反之，则会使平均数小于中位数； 此外，如果一部分数据严重偏大，而另一部 分的数据严重偏小，则通过相互抵消，往往 会促使平均数接近中位数。
等可能性事件与游戏规则的公平性是紧密相联的。因此，教材在编排上就围绕等可能性这个知 识的主轴，以学生熟悉的游戏活动展开教学内容，使学生在积极的参与中直观感受到游戏规则 的公平性，并逐步丰富对等可能性的体验，学会用概率的思维去观察和分析社会生活中的事物。
2．经历引入中位数的必要性，突出中位数的统计意义。
击鼓传花
游戏活动中隐含着许多公平性 的问题。要从事件发生的可能 性的角度去观察问题，这些游 戏活动对参与的各方是否公平。
足球比赛
跳房子
跳棋比赛
教学时，要说明每个活动的游 戏规则，提出相关的数学问题 让学生讨论。注意引导学生从 事件发生的可能性以及游戏规 则是否公平这个角度来思考问 题。不要过分关注游戏、活动 内容本身。
定义中位数 概念要突出 中位数的统 计意义
利用旧知“平均数”判断，发现有较大出入，引 发认知冲突，说明“平均数”并不合适，引出中 位数。
阐明中位数 与平均数各 自的特点和 适用范围。
1.在独立源自文库思考基础 上小组讨 论交流。
先调整统计表中各数据的位置，使之 有序排列，然后再仿例4进行计算 。 进一步理解中位数的概念，掌握求中 位数的方法，体会中位数在统计学上 的作用。 从平均数和中位数两个角度对该数据 组进行了分析，结果表明用中位数代 表这组成绩的一般水平更合适。 7名男生跳远成绩的平均数是2.96， 中位数是2.89，分析发现有5名男生 的成绩都低于平均值，从而说明在这 里用平均数来代表该组成绩不太合适， 应选用中位数。 将原数据组的7个数据变成了8个，向 学生介绍当一组数据有偶数个数据时 中位数的求法。
④因为这个游戏只有甲、乙两个人参与， 所以公平的游戏规则应是甲乙双方获胜 的可能性都为1/2，设计规则时只要满足 这个条件即可。如可让乙猜指针停在单 数或双数上，或猜指针停在1～5这5个数 字上，等等。
1.先列出所有的可能（不重复、不遗漏）
2.分析、计算
一共有9种可能的结果，因为每人出石头、剪子、 布的可能性都相同，所以这9种结果出现的可能 性都相等，均为1/9。其中小强获胜的结果有3种， 小丽获胜的结果有3种，平的结果也有3种，故小 强获胜的可能性就是3/9，同理，小丽获胜的可 能性也是3/9，二者相等，所以用“石头、剪子、 布”是公平的。 排列出3，5，6能摆出的所有三位数。即：356， 365，536，563，635，653。其中单数有4个， 双数有2个，所以单数的可能性是4/6=2/3，双 数的可能性是2/6=1/3。
第3题，通过展示两个公司职工工资情况统 计表，说明在生活中要特别警惕平均数的 误用，要看清在平均数掩盖下的事实真相， 以帮助我们在生活中作出科学合理的选择。 在本题里， “乙公司说他们职工的月平均 工资超过1500元，比甲公司高”，虽然这 种说法没有错，但这里的平均工资并不能 真正代表公司职工工资的一般水平，因为 我们稍加留意就会发现，乙公司经理的工 资差不多是普通职员工资的6倍，更是临时 工的13倍，副经理的工资与普通员工工资 的差距同样十分悬殊，这无形中就把公司 职工工资的平均水平抬高了，所以用平均 工资来反映该公司职工工资的一般水平并 不合适。同理，甲公司的平均工资也不能 代表职工工资的一般水平。 普通职员在公司里占绝大多数，所以他们 的工资更能代表公司职工工资的一般水平， 这实际上也是工资统计表里的中位数，从 而也与前面学习的用“中位数代表全体数 据的一般水平更合适”相一致。 如果爸爸想应聘公司的员工，从工资水平 的角度考虑应该选择甲公司，因为甲公司 普通职员的工资是1200元，高于乙公司的 1100元。
中位数也是描述一组数据集中趋势的统计量，但它和平均数有两点不同：一是平均数只是一个 “虚拟”的数，即一组数据的和除以该组数据的个数所得的商，而中位数并不完全是“虚拟” 数，当一组数据有奇数个时，它就是该组数据顺序排列后最中间的那个数据，是这组数据中真 实存在的一个数据；二是平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一个数据的变 动都会引起平均数大小的改变，而中位数则仅与一组数据的排列位置有关，某些数据的变动对 中位数没有影响，所以当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中 趋势就比较合适。
第2题，开放题。放 手让学生设计，只 要满足红色区域占 整个转盘面积的一 半，绿色和黄色区 域各占整个转盘面 积的1/4就行。
第1题，①把9张数字卡片打 乱顺序后摆在桌子上，随机 抽取一张，抽到每个数字的 可能性都是，而单数有1，3， 5，7，9，共5个，所以抽到 单数的可能性是，同理，抽 到双数的可能性是。可见， 这个游戏对小芳而言是不公 平的。②虽然游戏规则对小 芳不利，但在一次或有限次 试验中，小芳却不一定会输。 ③为了使游戏规则变得公平， 可去掉一张单数卡片或再增 加一张双数卡片，从而使得 摸到单数和摸到双数的可能 性都是，就实现了游戏的公 平。
③针对教材中列出的四种猜数方法，第 一种：不是2的整数倍的数有1，3，5， 7，9共5个，因而乙猜对的可能性是5/10； 第二种：不是3的整数倍的数有1，2，4， 5，7，8，10共7个，因而乙猜对的可能 性是7/10；第三种：大于6的数有7，8， 9，10共4个，因而乙猜对的可能性是 4/10；第四种：不大于6的数有1，2，3， 4，5，6共6个，因而乙猜对的可能性是 6/10。比较四种方法后发现，乙选择第 二种方法获胜的可能性最大，所以乙应 选择第二种。特别要指出的一点是，第 三种和第四种方法在概率论里称为 “互 补事件”，两个互补事件发生的概率之 和等于1。所以，如果我们已经知道了第 三种方法获胜的可能性，第四种方法获 胜的可能性就可直接通过减法计算求得。
求中位数时，要强调 “中位”是相对一组数据 的数值大小顺序而言的， 计算中位数前首先应将该 组数据按照大小顺序进行 排列，再找出处于最中间 位置的数据。 小结：使学生认识到平均 数与中位数都是反映一组 数据集中趋势的统计量， 但针对具体的一组数据来 说，则应根据数据组中各 个数据的分布情况，合理 选择适当的统计量。当一 组数据中某些数据严重偏 大或偏小时，就最好选用 中位数来表示该组数据的 一般水平。
⒊ 由易至难，逐步深入，从旧知引出新知。
学生已学过平均数，所以在引入中位数时，就以平均数为参照物，说明当一组数据中有个别数 据偏大或偏小时，用中位数来代表该组数据的一般水平就比平均数更合适。这样编排，不但新 旧知识过渡自然，便于学生理解和掌握，而且通过对比更加清晰地阐明了中位数的统计意义。
主题图 体验事件发生的等可能性以及游戏规则 的公平性，会求简单事件发生的可能性
从表中可见，和是单数的结果有18种，所 以和是单数的可能性是18/36=1/2，同理， 和是双数的可能性也是1/2，故这个游戏对 双方是公平的。
引入中位数 的必要性 2.思考
1.观察分析数据
估算：大约 在23~25之间
讲清中位数特点：把一组 数据按大小顺序排列后， 最中间的数据就是中位数， 它的优点是不受偏大或偏 小数据的影响。
第3题，①转盘被均匀地分成了10个区域，指针 停在任一区域的可能性都相等，均为1/10。当 甲转动指针时，乙能猜对指针停在哪一区域 （即乙获胜）的可能性是1/10，而乙猜错（即 甲获胜）的可能性是9/10，所以这个游戏规则 对乙来说是不公平的。
②虽然乙获胜的可能性很小，但根据随机事件 的特性，小概率事件也是会发生的，所以在一 次试验中并不能断定乙就一定会输，只是说明 乙输的可能性很大，尤其是在该游戏大量重复 进行试验时，这一点会表现得更明显。
二、教学目标
1.体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性。 2.能按照指定的要求设计简单的游戏方案。 3.理解中位数在统计学上的意义，学会求中位数的方法。 4.会根据数据的具体情况，选择适当的统计量来反映数据的集中趋势。
三、编排特点
1．以学生熟悉的游戏活动和生活实际展开教学内容。
第3题，虽然橡 皮各部分的材料 是均匀的，但它 的6个面大小不 等，一个面的面 积越大，投掷后 朝上的可能性也 越大，所以，小 强设计的这个方 案不公平。
编排意图： ※ 设计击鼓传花的游戏。 ※ 体验生活中存在等可能性的 游戏活动，规则是公平的。 ※ 教学用几分之几来表示可能 性的大小。 教学思路： 1.如果玩游戏有困难，可设计 转盘游戏代替。 2.小组合作统计次数，小组汇 报结果。 3.注意实验结果(频率）与概率 的区别。 4.实验次数越多，频率越稳定。 做一做：先判断等可能性，再 求概率。