冀教版九年级数学上册知识点

23章 数据分析

23.1平均数和加权平均数

1、一般地，我们把n 个数n x x x ,...,

,21的和与n 的比，叫做这n 个数的算术平均数，

简称平均数，记作-

x ，读作“x 拔”，即)....(1

1n x x n

x ++=-

2、已知n 个数n x x x ,...,

,21，若n w w w ,...,,21为一组正数，则把

n

n

n w w w w x w x w x ......212211+++++叫做n 个数n x x x ,...,,21的加权平均数，n w w w ,...,,21分别

叫做这n 个数的权重，简称权。 23.2中位数和众数

1、一般地，将n 个数据按大小顺序排列，如果n 为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果n 为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。

2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。 23.3方差

设n 个数据n x x x ,...,,21的平均数为-

x ，各个数据与平均数偏差的平方分别是

22

22

1)(,...,)(,)(-

-----x x x x x x n 。偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用2s 表示，即

当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小。 23.4用样本估计总体

由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。 24章 一元二次方程 24.1一元二次方程

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式为).0(02

≠=++a c bx ax 其中，2ax

是二次项，a 是

二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项。一元二次方程的解也叫做这个方程的根。

24.2解一元二次方程

1、配方法：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，

从而求出原方程的根。配方时，先将常数项移至等号右边，然后将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 2、对于一元二次方程02=++c bx ax ： 当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根； 当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根； 当042<-ac b 时，方程没有实数根。

我们把ac b 42-叫做一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式。 3、当042≥-ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 的两实数根可以用

a ac

b b x 242-±-=

求出。这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

4、因式分解法：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。 24.3 一元二次方程根与系数关系

如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为21,x x ，那么a

c

x x a b x x =∙-=+2121,。

24.4一元二次方程的应用 25章 图形的相似 25.1比例线段

1、如果选用同一度量单位，量得线段a 和b 的长度分别为m 和n ，我们就把m 和n 的比

叫做线段a 和b 的比，记作n m b a ::=，或n

m

b a =。

2、在四条线段d c b a ,,,中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d

c

b a =，我们就把这四

条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 3、比例的基本性质

如果d

c

b a =，那么b

c a

d =。

如果bc ad =，那么d c

b a =（0,≠d b ）

特别地，如果c

b

b a =，即a

c b =2，就把b 叫做a,c 的比例中项。

如果k n m d c b a ====...，那么k n d b m c a =++++++......

4、黄金分割

在线段AB 上有一点C ，如果点C 把AB 分成的两条线段AC 和BC 满足AC

BC

AB AC =

，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 称为线段AB 的黄金分割点，AB

AC

称为黄金比。黄金比

618.02

1

5≈-=AB AC 每条线段上的黄金分割点都有两个。

25.2 平行线分线段成比例 （1) 基本事实

两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。

对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（AB 与DE 、BC 与EF 、AC 与DF)，对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。

（2）推论1

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 （3） 推论2

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例。

在△ABC 中，DE ∥BC ，BC DE

AC AE AB AD == 25.3相似三角形

（1）对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做它们的相似比。如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。 （2）利用平行线分线段成比例判定两个三角形相似

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。

25.4 相似三角形的判定 相似三角形的判定定理

(1) 两角对应相等的两个三角形相似。

(2) 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 (3) 三条边对应成比例的两个三角形相似。

(4) 直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 25.5 相似三角形的性质 相似三角形的性质定理

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。 （2）相似三角形周长的比等于相似比。

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 25.6 相似三角形的应用

25.7 相似多边形和图形的位似

l

3

l 2l 1

F E D C B A

A B C D

E E

D

C B A

E D

C B A