数量积与向量积

bx bz
bx by
补充
|
a
b|表示以a
和b
为邻边
c
a
b
b
的平行四边形的面积.
a
例
6
求与a
3i
2
j
4k ，b
i
j 2k 都垂
直的单位向量.
例 7 在顶点为A(1,1,2)、B(5,6,2) 和 C(1,3,1)的三角形中，求AC 边上的高BD .
四、小结
向量的数量积（结果是一个数量） 向量的向量积（结果是一个向量）
设
a
axi
ay
j
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(axi
a
y
j
az k )
(bx
i
by
j
bz
k)
i jk, i j j k k i 0,
| i || j || k | 1,
i i j j k k 1.
a
b
a x bx
思考题
已知向量a
0 ，b
0，
证明|
a
b |2
|
a |2 |
b |2
(a
b)2.
思考题解答
|百度文库
a
b |2
|
a|2
|
b |2
sin
2
(a,
b)
|
a|2
|
b|2
[1
cos2
(a,
b )]
|
a|2
|
b |2
|
a|2
|
b |2
cos2
(a,
b)
|
a|2
|
b |2
(a
b )2 .
j i k, k j i , i k j.
(a ybz azby )i (azbx axbz ) j (axby a ybx )k
向量积的坐标表达式
向量积还可借助于三阶行列式表示
i jk
a
b
ax
ay
az
bx by bz
ay
az
i
ax
az
j
ax
a
y
k
by bz
|
a||
b|
cos
数量积也称为“点积”、“内积”.
关于数量积的说明：
(1) a a | a|2 .
(2)
a
b
0
ab.
数量积符合下列运算规律：
（1）交换律：a
b
b
a;
（2）分配律：(a
b)
c
a
c
b
c;
（3）若 为数
(a)
b
a
(b )
( a
b ),
若
、为数：(a)
(
b )
(a
b ).
（2）分配律：
(a
b)
c
a
c
b
c.
（3）若 为数
(a)
b
a
(b )
(a
b ).
设
a
axi
ay
j
azk,
b bxi by j bzk
a
b
(a
x
i
a
y
j
azk )
(bxi
by
j
bz
k)
i i j j k k 0,
i j k, j k i , k i j,
a
b1；已（知2）aa与{1b,1的,夹4}角，b
{1,2,2}，求（1）
例2
证明向量c与向量(a
c)b
(b
c)a垂直.
例3 应用向量证明Cauchy—Schwarz不等式 | a1b1 a2b2 a3b3 | a12 a22 a32 b12 b22 b32
例4 应用向量证明直径所对的圆周角是直角 y A
数量积与向量积
一、两向量的数量积
实W到例点|M一F2物|，| s体以| c在so表s常示力位F移作(其，用中则下力沿为F直F所线与作从s的点的功夹 M为角1移) 动
启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
定义
向量a与b的数量积为a
b
a
b
|
a||
b|
cos
(其中 为a与b的夹角)
b
a
a
b
向量a与b的向量积为
c
a
b
|
c||
a||
b|
sin
(其中 为a与b的夹角)
c的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：
(1)
a a
0.
(2)
a// b
a
b
0.
(a
0,
b 0)
向量积符合下列运算规律：
（1）
a
b
b
a.
a yby
azbz
数量积的坐标表达式
a
b
|
a||
b|
cos
cos | aa||bb|,
cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz 2
两向量夹角余弦的坐标表示式
由此可知两向量垂直的充要条件为
ab axbx a yby azbz 0
例
B
C
o
x
二、两向量的向量积
实例
设O 为一根杠杆L 的支点，有一力F 作用
于这杠杆上P 点处．力F 与OP 的夹角为 ，力F
对支点O 的力矩是一向量M ，它的模
F
| M || OQ || F |
O
P Q
L
| OP || F | sin
M 的方向垂直于OP 与F 所决
定的平面, 指向符合右手系.
定义