从力做的功到向量的数量积

|
r b
|
cos
rr argb
|a|
投影是个数量，一定大于零吗？
r
r
向量 b 在方向 a 上的投影是数量,不是向量,
什么时候为正，什么时候为负？ b cos
B
b
O
a B1 A
b cos 0
B b
B1 O a A
b cos 0
B b
O(B1 ) a A
b cos 0
a
Ob B
A
b
a
B
O
A
b cos b
特别地ａ：与ａrａｂ·r反= _向r__ar时 _r2__，ａ__ｂ ·_= _|_ar_a___g|__b2_________（|_a长__|g度_| _b）_|
(3)cosθ=
ab
rr ab
（夹角）
(4) a b a b . 当且仅当a∥b时等号成立
特别提醒：
1.
rr aa
r a
2
2.若 e1, e2 是单位向量,则 ur uur ur uur e1 e2 e1 e2 cos cos
rr 有时也记作《 a ，b 》
O
rA
a
计算向量的夹角时要 将两个向量起点放在
一起.
θ为锐角
向量的夹角
Ar
a
O
r
bB
θ为钝角
r
a
r
ObB
A
0
rr a 与b 同向
r
r
a
Bb O
A
180
rr a 与 b 反向
B
r
b
O
r a
A
90
rr a 与 b 垂直，
rr 记作 a b
当
_0_o______9_0__o
向量的数量积是一个数量，那么它何 时为正，何时为负，何时为零？
a b | a || b | cos
r b
探究点1 向量的数量积
思考1 如何定义向量的夹角？
r
两个非零向量
r a
和
r b
，作
uuur OA
r a
，OuuBur
ra
b
，则
AOB （
0 180
）叫作向量
r a
与br
的夹角．
B
r b
[自主探究、合作学习]
探究一：数量积的概念
如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s， 那么力F所做的功：
F
W= __|F_|__|s_|__c_o_s_α____
F（力）是__向__量， s（位移）是__向__量， α是__F_与__s_的__夹__角 W（功）是_数___量，
α
S
你能用文字语言表述 “功的计算公式”吗?
b cos b
[自主探究、合作学习]
数量积的几何意义是什么？
平面向量数量积的几何意义:
B
b
1
A
B
b
O | b | cos
a
A
O
a
A
| OA1 | a cos
a b a b cos
rr
r
r rr
r
a与b的数量积等于a的长度 a 与b在a方向上射影 b cos的
r
r rr
r
乘积，或b的长度 b 与a在b方向上射影 a cos的乘积.
600
[反馈训练、巩固落实]
五、课堂练习（学生活动）
1. ①已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角为 120°，
则 a•b＝ ；
②已知|b|＝4，a 在 b 上的投影是12|b|，则 a•b
＝；
③已知|a|＝5，|b|＝4，a•b＝－10 2 ，则 a 与
b 的夹角
．
充充电吧！
[归纳总结、提升拓展]
时
a
b
为正；
rr ab
当
_9_0_o _____18_0__o
时
a
b
为负;
均 为
当_____9_0_o时
a
b
为零;
非
零 向
当_____0_o 时
a
b
=|a||b|;
量
当___1_8_0_o时
a
b
|
a
||
b
|
.
[自主探究、合作学习]
判断下列结论是否正确：
(1)若a
0, 则对任意向量
b有a
b
0
(2) 若a
rr
,
我们把数量 a b cos 叫做 a 与 b 的数量积
(或内积),记作 a b .
a b a b cos
注意：
(1) 两个向量的数量积是一个实数， 不是向量．
(2)两个向量的数量积称为内积，写
成
rr ab
．
rr
rr
rr
即 ab
ab
ab
注意：
(3) 向量的数量积和实数与向量的积 (数乘)不是一回事．
解析：a·b＝|a||b|cos 120°＝－6.
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9－12＋16＝13， (a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9＋12＋16＝37， ∴|a－b|＝ 37.
点评： 利用|a|2＝a2 求向量的模时转化为求向量的平方问题．
点评： 利用|a|2＝a2求向量的模时转化为求向量的平方问 题．
知识： （1）平面向量的数量积； （2）平面向量的数量积的几何意义； （3）平面向量数量积的重要性质
思想方法： （1）转化、数形结合、分类讨论等思想 （2）公式或定义法
3．已知向量 a，b 满足|a|＝4，a·(a－b)＝12，则向量 b 在向量 a 方向上的投影等于________．
解析：∵a(a b) a a a b
|a|2|a||b|co s
164|b|cos12 .
| b | cos 1.
4.已知
mr
3,
nr
4, mr nr
ห้องสมุดไป่ตู้
ur r 6,则m与n夹角为
3.若e 是单位向量，则：
e a a e a cos.
单位向量 是一种特 殊的向量 哟！
4.例题剖析 加强应用
题型一 求向量的数量积及向量的模
例1. 已知|a|＝3，|b|＝4且a与b的夹角为θ＝120°， 求：a·b，(a＋b) 2，|a-b|.
分析：根据向量的运算律求(a＋b)2,|a-b|，求模时转化为 求向量的平方问题，即|a|2＝a2.
[创设情境、导入新课]
问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么 ？
向量的加法、减法及数乘运算
问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
物理模型----概念---性质---应用
本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算： 平面向量的数量积运算
rr r r
数量积 a b | a || b | cos 的结果是一个 数量(实数)；
实数与向量的积(数乘)还是一个向量．
[自主探究、合作学习]
①其中一个向量是零向量数量积是 多少？ ②数量积是数量还是向量？ ③数量积的符号和大小受哪些因素 的影响？
特别地:零向量与任一向量的数量积为0.
rr 规定:0 a 0
[自主探究、合作学习]
探究三：探究数量积的运算性质
数量积r的性r质 性质：若 a 和 b 均为非零向量
r r rr (1) a b __a_g_b___0__（垂直）
（4）的关系是什么？ 何时取等号？
rr
rr r r r r
(2)ａ与ｂ同向时，ａｂ ·
rr
rr
a_g_rb__r_|_a_|_g|_b_r_| ___r，
0, 则对任一个非零向量
b，有a
b
0
(3) 若ar
r 0,
ar
r b
r 0, 则b
r 0
(4) 若a
b
0,
则a,
b 中至少有一个为
0
[自主探究、合作学习]
探究二：研究数量积的几何意义
1.向量投影的概念：
r
如图，我们把____|_b__|_c_o_s_______ 叫做
rr 向量 b 在 a 方向上的投影。
我们将功的运算类比到两个向量的一 种运算，得到向量“数量积”的概念。
W F S cos
这就是本节课所 要学习的平面向 量的数量积
a • b | a | | b | cos
2.5.1从力做的功到向量的数量积
江西省九江市第七中学 许秋波
平面向量数量积的定义:
已知两个非零向量
r a
和
r b
，它们的夹角为