对函数零点教学的一点思考

对“函数零点”教学的一点思考

人民教育出版社中学数学室田载今

在课题的第五次研讨会上，有甲、乙两位老师上了“方程的根与函数的零点”研究课。

老师甲问：“函数的零点是什么？”一个学生回答：“这个函数的零点

是。”老师说：“请你再考虑一下你的回答是否准确。”这个学生有些茫然，这时老师引导学生回忆教科书中对函数的零点的叙述，即使0的实数叫做函数

的零点。这个学生似乎有所觉悟，他不大自信地说：“应该说是吧？”老师立即予以肯

定，他说：“对！是一个点，不是一个点而是一个数。请同学们注意：函数的零点不是一个点而是一个数。”

老师乙也强调“函数的零点并不是点而是实数，它就是方程0的实数根，方程0有几个实数根，函数就有几个零点。反过来，函数有几个零点，方程0就有几个实数根。”

听课后，我发现两位老师都在刻意地强调函数的零点不是点而是数，其主要原因是受教材对零点的诠释的影响。教学中这样做是否妥当呢？为弄清这个问题我们可以进行如下分析。

1．从数学知识的角度来分析

数轴是“数形结合”的典型例子。实数集合与数轴上全部点的集合之间有一一对应的关系，即每个实数都对应数轴上的一个点，不同的实数对应不同的点，反之亦然。因此，实数与数轴上的点是可以统一起来认识的，或者说它们是同一对象的两种表现形式。例如，“区

间中的一个点”与“一个大于且小于的实数（）”是对同一对象的两种说法，两者并不矛盾。

再看函数的零点这个概念的产生背景。研究连续函数时，人们发现一个几何事实：如果一段连续曲线上的每个点都有不同的横坐标，曲线的两个端点的位置分别在轴的上、下（或下、上）两侧，那么这段曲线上一定有恰在轴上的点。根据函数与图象的关系可以看出：

由这段曲线上每个点都有不同的横坐标，即对同一只有唯一确定的与之对应，可知曲线是一个函数的图象；设其左右端点的横坐标分别为a和b，由这段曲线连续，可知函数在区间上连续；由两个端点分别在轴的两侧，可知和正

负相反；又由曲线是连续的，可知连接两个端点的曲线必然要经过轴，即曲线与轴一定有公共点，设这样的点的横坐标为。由于曲线是函数的图象，所以一定有（）。于是人们得出闭区间上连续函数的一个性质：如果函数在区间上连续，并且<0，则存在，使得。

虽然上述几何事实是直观易懂的，但是不直接利用几何直观而严格证明上述性质却不是简单的事，直到有了抽象的实数理论后，人们才使用区间套定理和函数连续的定义完成这个证明。如果认真地思考区间套定理和的连续定义，你会发现它们都具有明显的

几何背景，与数轴上的点有密切关系。因此，我们可以说这个性质从发现到证明都与“形”密切相关。对于连续曲线与轴的公共点，因为，所以称这点为函数

的零点，这是零点概念的最初由来。上述性质被称为连续函数的零点存在定理，以它为基础可以进一步证明连续函数的其他性质（介值定理等）。

从几何角度说，由于知道零点一定在轴上（纵坐标为0），只要再知道横坐标就可以确定它的位置，所以人们关注的只是零点的横坐标这个数。从方程角度说，由于函数

的零点的横坐标满足，即是方程的根，解方程就是求出的

值，所以人们关注的仍是零点的横坐标。因此，对于零点的另一种解释为高中数学教科书中所说的那样，也即指函数图象与轴的公共点的横坐标，这是零点概念的另一说法的由来。

按照函数的零点是实数的说法，的零点就是的实数根。于是当然有“方程0有几个实数根，函数就有几个零点，反过来也成立”的结论。可能有人会说：按照函数的零点是点的说法，就可能出现实数根与零点的个数不一致。例如，方程有两个相等的实数根（二重根），而函数的图象（抛物线）与轴只有一个公共点（1，0）。

如果了解数学中对于零点的进一步规定，就会认识到上述问题并不难解决。对于零点也有类似重根进一步的定义：设是正整数，如果及它的1～()阶导数在处的值都等于0，而的阶导数在处的值不等于0，则点（也可以认为是实数）称为函数的重（次）零点。例如，函数及它的一阶导数

在时都等于0，而二阶导数，所以点（1，0）是函数的2重零点。

正如可以把重根看作个相等的根一样，也可以把重零点看作个相同的零点，于是无论把零点作为实数还是作为点，都可以把函数的零点和方程的实数根一一对应起来，而不会出现两者个数不一致的现象。

由上可知，从数学本质上看，因为数轴上的点与实数具有一一对应关系，而直角坐标系中轴就是一条数轴，所以“零点是点”和“零点是实数”并不矛盾，它们分别是从“形”和“数”两个角度对零点概念的刻画，两者是和谐的。

2．从高中数学教学的角度来分析

高中数学教材中，零点的概念出现在连续函数的性质——零点存在性命题之中，这个性质又是为后续内容“二分法求方程近似解”服务的，而教材安排二分法这个内容是为反映方程与函数的联系，体现函数的应用。这部分教材内容的核心概念是函数，而零点只是内容中涉及的一个附属于函数的小概念，并不属于教学重点，所以不需加以细致的讨论。

教材中对上述零点存在性命题的讨论是以函数图象为基础的，这是因为此前还未出现连续函数的概念，不可能以有关连续的定义来进行推理，而只能以依靠直观图象来讲道理。因此，从学习这个命题的过程来说，零点的几何意义（即函数图象与轴的交点）在认识命题中的作用要远比零点是方程的实数根更重要。一般说，从“形”到“数”，即先认识零点的几何意义，后联系到实数根，是自然顺畅的认识过程。

实际教学中，很多同学对于“零点不是‘点’”感到很别扭，这不仅是因为“零点”一词中有“点”这个字，容易使他们把以往对“点”的几何意义的印象迁移到零点上，更重要的是认识零点这个概念时所经历的过程给他们以深刻印象。对于学生认为明明是“点”或者说与“点”有密切联系的数学对象，说到它时却偏偏要回避“点”，学生又怎能不感到别扭呢？然而教科书这样写，老师教师又格外这样强调，于是学生会在不明白道理的情形下只好别扭地就硬记住它吧。但是，随着数学素养的不断提高，学生逐渐会认识到这样刻意的强调实际上是多余的。

3．几点看法

（1）函数的零点具有“形”与“数”两方面的含义，是个可以从不同角度认识的数学概念，应将两方面联系起来。

（2）高中数学教学中对函数的零点的认识是一个先认“形”后认“数”的过程，几何直观是理性认识的基础。

（3）现行高中数学教学中，函数的零点不是一个核心概念，学生只要能从形和数两方面对它有基本了解即可，其作用是服务于进一步认识函数与方程的联系。

（4）现行高中数学教学中，不需要强调“函数的零点不是点而是数”，应把教学重点放在函数与方程的联系上，而不要在一些细枝末节上过分纠缠。