专题四第2讲

第2讲空间中的平行与垂直

(推荐时间：60分钟)

一、填空题

1．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中错误的命题序号是________．

①若m∥α，n∥α，则m∥n

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β

③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β

④若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

2．关于直线a、b、c，以及平面M、N，给出下列命题：

①若a∥M，b∥M，则a∥b；

②若a∥M，b⊥M，则a⊥b；

③若a∥b，b∥M，则a∥M；

④若a⊥M，a∥N，则M⊥N.

其中正确命题的个数为________．

3．α、β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m∥β”的______________条件．

4．过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

B1C1D1被平面EFGH截去几何体

5．如图，若Ω是长方体ABCD—A

EFGHB1C1所得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1

上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中，正确的是________．(填上所有

正确命题的序号)

①EH∥FG；②四边形EFGH是矩形；

③Ω是棱柱；④Ω是棱台．

6．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；

④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.

正确命题的序号是________．

7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及平面β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．

8．(2010·上海)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为________．

9．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线P A 垂

直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：

①PA ∥平面MOB ；

②MO ∥平面PAC ；

③OC ⊥平面PAC ；

④平面PAC ⊥平面PBC .

其中正确的命题是______(填上所有正确命题的序号)．

10．已知m 、n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：

①若m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；

②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m ⊥n ；

③若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β；

④若n ∥α，n ∥β，α∩β＝m ，那么m ∥n .

其中正确命题的序号是________．

11．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．

①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线；

②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；

③已知α、β互相平行，m 、n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β；

④若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行．

12．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．

二、解答题

13．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别

为PC 、BD 的中点，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝2

2

AD . (1)求证：EF ∥平面P AD ；

(2)求证：平面P AB ⊥平面PCD .

14．如图所示，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，

矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AB ＝2，AD

＝EF ＝1.

(1)求证：AF ⊥平面CBF ；

(2)设FC 的中点为M ，求证：

OM ∥平面DAF .

15．如图(1)所示，在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD ＝2.E ，F ，G 分别为线段PC ，PD ，BC 的中点，现将△PDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD (图

(2))．

(1)求证：AP ∥平面EFG ；

(2)在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，试给出证明．

答 案

1．①②③ 2.2 3．既不充分又不必要 4.6

5．①②③ 6.①④

7．①③④⇒②(或②③④⇒①) 8.823 9．②④ 10．②④ 11．② 12.⎝⎛⎭

⎫12，1 13．证明 (1)连结AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点，

故在△CPA 中，EF ∥PA ，

又∵PA ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，

∴EF ∥平面PAD .

(2)∵平面P AD ⊥平面ABCD ，

平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，

又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ，

∴CD ⊥PA .

又PA ＝PD ＝22AD ， ∴△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2

，即PA ⊥PD . 又∵CD ∩PD ＝D ，∴PA ⊥平面PCD .

又∵PA ⊂平面P AB ，

∴平面PAB ⊥平面PCD .

14．证明 (1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，

平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，

∴CB ⊥平面ABEF .

∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB .

又∵AB 为圆O 的直径，

∴AF ⊥BF . ∴AF ⊥平面CBF .