第8章 相似性原理和因次分析

本章目录

8.1 力学相似性原理8.2 相似准数

8.3 模型实验

8.4 因次分析法

本章概述

什么是科学实验？人们根据研究的目的，利用科学仪器和设备，突出主要因素，忽略次要因素，人为地控制或模拟自然现象，探索自然规律的认知活动。

现代力学问题，总体来说，能列出方程给出分析公式的是少数，能列出方程，给出边界条件和初始条件, 并得到精确解的更是少数。科学实验仍然是解决科学问题的主要方法。

模型实验的意义

通过流体力学实验可以重复实现和观察某流动现象或过程，可以获得充分的感性认识，揭示流动的特性和本质，发现新的现象。

大多数实验是在模型上进行的。模型（model）实验就是将尺寸过大的原形（prototype）缩小，将尺寸过小原形放大，将过于复杂的原形简化。

问题：如何保证模型和原形具有同样的流动规律？

答案：保证模型和原形流动相似。

什么是两现象相似？

如果两个同一类物理现象，在对应的时空点，各标量物理量大小成比例，各向量物理量除大小成比例以外，而且方向相同，称这两个现象相似。

相似理论（相似性原理）就是研究相似现象之间关系的理论。相似理论是模型实验的理论基础。

§8.1 力学相似性原理

概述

要保证两个流动问题的力学相似，必须满足：

（1）几何相似；

（2）运动相似；

（3）动力相似；

（4）边界条件和初始条件相似，共四个方面。

§8.1.1 几何相似

几何相似是指流动空间几何相似——任意相应两线段夹角相同，任意对应线段成比例。

面积比例为长度比例的平方

体积比例为长度比例的立方

几何相似是力学相似的前提。有了几何相似，才有可能在模型流动与原形流动之间，存在着相应点，相应线段等一系列对应的要素以及相应速度、加速度、作用力等一系列对应的力学量。

§8.1.2 运动相似

运动相似是指两流动相应点的流速大小成比例，方向相同。

时间比尺的意义：两流动实现特定流动过程所需要的时间之比。

两流动只要速度相似，加速度必然相似。

§8.1.3 动力相似

动力相似是指两流动相应点受同名力作用，力的方向相同，大小成比例。同名力系指同一物理性质的力，如重力、粘性力、压力、惯性力。

对于运动运动质点，设想加上该质点的惯性力，则惯性力与质点所受的力平衡，形式上构成一个力多边形。从这个意义上说，动力相似可以表数为相应点上的力多边形相似，多边形相应的边（同名力）成比例。

§8.1.4 边界条件和初始条件相似

边界条件相似指两个流动相应边界性质相同（粗糙度、自由面）。

初始条件相似系指对于非稳态流动而言。

事实上，流体的作用力是由边界条件和作用力决定的。

§ 8.2 相似准数

概述

要保证两个流动问题的力学相似，必须满足：几何相似、运动相似、动力相似、边界条件和初始条件相似四个方面。以上四个方面，实际上就是力学相似的结果，关键是如何实现动力相似？

§8.2.1 如何实现动力相似

要使两个流动动力相似，前述各项比尺必须符合一定的约束关系，这种约束关系称为相似准数，或相似准则。本课程讲三个相似准则。

§8.2.2 三个准则

§8.2.2.1 雷诺准则（Reynolds number）

该式物理意义：两个流动相应点上惯性力与粘性力的对比关系。

§8.2.2.2 弗劳德准则（ Froude number ）

该式物理意义：两个流动相应点上惯性力与重力的对比关系。

§8.2.2.3 欧拉准则（ Euler number ）

该式物理意义：两个流动相应点上惯性力与压力的对比关系。

多数流动中，对流动起作用的是压强差，而不是压强的绝对值，所以欧拉数常用相应点的压强差△p代替压强。

对于某一流动，具有代表性的量称为特征物理量。如管流的平均流速就是特征流速；管径就是特征长度。

对于某一流动，具有代表性的量称为特征物理量。如管流的平均流速就是特征流速；管径就是特征长度。

§8.2.3 决定性相似准数和被决定的相似准数

对于不可压缩流动，决定流动平衡有四种力：粘滞力、压力、重力和惯性力。由四个力构成一个封闭的力多边形，其中必然由一个力是被动的，只要三个力相似，则第四个力必然相似。因此，在决定动力相似的三个相似准数Re,Fr,Eu也必然有一个是被动的： Eu=f(Re,Fr) 在大多数流动问题中，通常Eu是被动的相似准数。

对流动起决定性作用的相似数称为决定性相似准数；被动的准则数

成为被决定的相似准数。

§8.3 模型实验

§8.3.1 概述

要保证两个流动问题的力学相似，各相似准则应该同时满足。实际上，要同时满足全部相似准则很困难，甚至不可能。

模型实验做到完全相似比较困难，一般只能达到近似相似。在模型设计时，应该抓住对流动起决定性作用的力，保持原形和模型在该力相应准数相等。

§8.3.2 六类问题

第一类：对于管流，断面流速分布和沿程水头损失，在同一水头差的作用下，与重力无关，影响流速分布的是粘性力，应保证原形和模型雷诺准数相等。

第二类：具有自由面的液体急变流动，无论是流速的变化或水面的波动，都强烈地受重力的作用，一般应保证原形和模型弗劳德准数相等。

第三类：气体从静压箱经孔口的等温淹没出流，一般与压差有关。如果流速较大，粘性力的影响可以忽略，此时应保证原形和模型欧拉准数相等。液体孔口淹没出流也遵循同一规

律。

第四类：对于管流，当雷诺数相当大时，断面流速接近均匀分布，流动进入阻力平方区，此时，阻力和惯性力均与流速平方成正比。此时，模型设计已经不受雷诺相似准数制约，只

要求尽可能提高模型流动的雷诺数，使它也进入阻力平方区。因此，阻力平方区也可

以认为是自动模型区。在自模区，流动的相似性与该准数（如雷诺准数）无关，即使

原形与模型的该准数不相等，流动仍保持相似。

对于湍流淹没射流，重力和浮力平衡，流体以较高的流速流出，流动处于自动模型区。

此时，模型设计不受相似准数限制，只要流动具有较高的雷诺数，就可以实现原形流

动和模型流动在速度分布上的相似。无限看见湍流射流的理论正是以此为前提。

第五类：对于管流，由于管壁摩擦作用成为重要影响因素，在几何相似的过程中，还要特别注意管壁粗糙度控制，即管壁绝对粗糙度也要保持同样的长度比例尺。

第六类：对于非等温射流，重力和浮力不相平衡。此时，有效重力就是重力与浮力之差。此时引入阿基米德数Ar来表征重力相似的弗劳德数。

§8.3.3 例题