平面与平面平行的判定与性质测试

平面与平面平行的判定与性质
一、选择题
1. 平面a//平面B,点A、C€a，点B、D 则直线AC //直线BD的充要条件是（）
A. AB / CD
B. AD // CB
C. AB与CD相交D . A、B、C、D四点共面
2. “ a内存在着不共线的三点到平面3的距离均相等”是“ a /
3 ”的（）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C.充要条件 D .既不充分也不必要的条件
3. 平面a //平面3，直线a二a , P€
3 ,则过点P的直线中（）
A •不存在与a平行的直线B.不一定存在与a平行的直线
C.有且只有一条直线与a平行
D.有无数条与a平行的直线
4. 下列命题中为真命题的是（）
A .平行于同一条直线的两个平面平行
B. 垂直于同一条直线的两个平面平行
C. 若一个平面内至少有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行.
D. 若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b, c均平行.
5.
已知平面a //平面3，且a、3间的距离为d ,1 a,l' 3，则丨与I'之间的距离的取值范围为（
）
A. （d,s）
B. （d,+s）
C. {d}
D. （0,^）
6. 已知直线a、b、c-a ,且a// 3、b// 3、c// 3，则“ a、b、c到平面3的距离均相等”是“ a // 3 ”的（
）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C.充要条件 D .既不充分也不必要的条件
7. 给出以下命题：
①夹在两个平行平面间的线段，较长的与平面所成的角较小；
②夹在两个平行平面间的线段，如果它们的长度相等，则它们必平行；
③夹在两个平行平面间的线段，如果它的长度相等，则它们与平面所成的角也相等；
④在过定点P的直线中，被两平行平面所截得的线段长为d的直线有且只有一条，则两平行平面间的
距离也为d
其中假命题共有（）
A. 1个B . 2个C. 3个D . 4个
8 .设a /3, P €a, Q €3当P、Q分别在平面a、3内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X（）
A. 不共面
B. 当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面
C .当且仅当P、Q分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面
D .无论P、Q如何运动都共面
二、填空题
I | 2岛AB =——d
9.已知a / 3且a与3间的距离为d,直线a与a相交于点A与3相交于B，若 3 ，则直
线a 与a所成的角= ______________ .
10 .过两平行平面a、3外的点P两条直线AB与CD，它们分别交a于A、C两点，交3于B、D两点，若PA= 6, AC = 9, PB= 8，则E D 的长为_______________________ .
11.已知点A、B到平面a的距离分别为d与3d,则A、B的中点到平面a的距离为___________________ .
12 .已知平面a内存在着n个点，它们任何三点不共线，若“这n个点到平面3的距离均相等”是“a
// 3 ”的充要条件，则n的最小值为 __________ .
三、解答题
13 .已知平面a //平面3直线a//a, a二3,求证：a // 3 .
AE = CF
14.如图，平面a //平面3 , A、C€a, B、D € —点E、F分别在线段A E、CD上，且EB FD ,
求EF //平面3 .
15. P是厶A B C所在平面外一点，
(1)求证：平面A' B' C'//平面A
B C;
(2)求S A A ' B ' C' ：
S
A A
B C.
16 .如图已知平面a //平
面3 ,线段A B分别交段B F
分别交a , 3于F、E,
17.如图，已知：平面
A B = CD = 10, A B 与CD 成60° 的角,
一、选择题
1 . D 2. B 3. C 4. B 5. B 6. C 7. A 8. D
二、填空题
9. 60°10. 12 11. d 或2d 12. 5
三、解答题
13.证明：取平面a内一定点A,则直线a与点A确定平面，设n a = b, A 3 = c, 则由a // a得a // b，由a // 3得b / c,于是a / c.
又••• a 二 3 ,••• a // 3 .
14 .证明：（1）若直线AB和CD共面，
•/ a // 3，平面ABDC与a、3分别交于AC、BC两直线，
AE CF
• AC // BD .又T EB = FD ,
△ PA B的重
心,
a、3于M、N,线段AD分别交a、3于C、D，线
a //平面 3 , A、C€ a , B、D€ 3 , AC 与B D 为异面直线，AC= 6, B D = 8, 求
AC与B D所成的角.
• EF // AC// BD, • EF //平面 3 .
AE CG
(2 )若AB与CD异面，连接BC并在BC上取一点G,使得EB = GB，则在△ BAC中，EG// AC, AC 平面a , •I EG / a .又T a / 3 ,
••• EG // 3 ;同理可得：GF // BD，而BD 二 3 ,
又••• GF // 3 .I EG A GF = G ,•平面EGF // 3 ,
又••• EF 二平面EGF, • EF // 3 .
综合(1) (2 )得EF // 3 .
15.证明：(1)连接PA'、PB'、PC '，分别交BC、CA、AB 于K、G、H，连接GH、KG、HK .
•/ B '、C '均为相应三角形的重心，
PB PC 2
• G、H分别为AC、AB的中点，且PG = PH = 3 ,
•B ' C'/ GH，同理A' B'/ KG , A' B ' A B ' C'= B'且GH A KG = G, 从而平面A' B' C '//平面ABC.
(2)由(1)知厶A' B' C '"△ KGH ,
S.ABL /BC* 4
S.KGH = GH = 9 ,
1 丄
又・S A KGH = 4ABC，…S A A'B' C' = 9ABC ,
• S A A' B' C' : S A AB C = 1 : 9.
16 .证明：T a / 3，平面AND分别交a , 3于MC、ND ,
•由面面平行的性质定理知，MC // ND，同理MF // NE ;又由等角定理：“一个角的两边分别平行于另一角
MC AM NE BN
的两边且方向相同，则两角相等”知：/ END = Z FMC，从而ND = AN , MF = BM ,
AN m+ p BN n
• ND = AM • MC = m • MC , NE= BM • MF = n + p • MF .
• S A END = 2ND • NE • sin/ END
1 m+ p n
=2 • m • n+ p • MC • MF • sin/FMC
n (m+ p)
=m ( n+P)• & FMC .
S EN^ n ( m+ p)
•S F MC = m (n+ p).
n (m+ p)
即：△ END与厶FMC的面积之比为m ( n +p).
17.由a / 3作BE = AC,连结CE,贝U ABEC是平行四边形./ DBE是AC与BD所成的角./ DCE是AB、CD所成的角，故/ DCE = 60°.
由AB= CD = 10,知CE= 10，于是△ CDE为等边三角形，
• DE = 10.
又T BE= AC = 6, BD = 8,
•/ DBE = 90°.
• AC与BD所成的角为90°.。