图像的几何变换PPT

(xi, yi, 1) （i=1, 2, 3）的形式，就变成H＝1平面内的三角形 a1b1c1的各顶点。
2. 二维图像几何变换矩阵
采用齐次坐标，并将变换矩阵改成3×3阶的形式后，便可实 现所有二维图像几何变换的基本变换。
变换后的点集 ＝矩 变阵 换矩 变 阵换 T 前的点集
图像上各点标 的 新齐 图次 像坐 上各点标 的 原齐
【问题】
✓ 二维图像对应的点集矩阵是2×n阶的，而扩展后的变换
矩阵是2×3阶的矩阵，这不符合矩阵相乘时要求前者的
列数与后者的行数相等的规则。 【解决方法】
T
1 0
0 1
x y
✓ 在点的坐标列矩阵[x y]T中引入第三个元素，增加一个附 加坐标，扩展为3×1的列矩阵[x y 1]T，这样用三维空间点 (x, y, 1)表示二维空间点(x, y)实现平移变换。
✓ ②通过（线性、样条、…）插值算法计算相应的像素值。
处理效果要好，但运算量也相应增加。
图像的尺寸减半
图像比例缩放（缩小）
最简单的比例缩小是当fx=fy=1/2时，图像被缩到一半大小， 此时缩小后图像中的(0，0)像素对应于原图像中的(0，0)像 素； (0，1)像素对应于原图像中的(0，2)像素； (1，0)像素 对应于原图像中的(2， 0)像素，依此类推。
T
a
c
b 平面上点的变换矩阵中没有引入平移常量，无论a、b、c、
d
d取什么值，都不能实现上述的平移变换。
T 10
0 1
x引入2×3阶变换矩阵（第一、二列构成单位矩阵，第三 y 列元素为平移常量）。
只需将变换矩阵（2×3）乘以图像的点集矩阵（2×n） 即可实现二维图像的几何变换。
1. 齐次坐标
【解决方法】
✓ 齐次坐标使得可以用统一的矩阵线性变换形式表示和实 现常见的二维图像的几何变换。
1. 齐次坐标
点P0(x0, y0)平移到P(x, y)。x、 y方向的平移量分别为Δx、Δy。
变换前后的坐标关系
x x0 x y y0 y
变换的矩阵表示形式
x 1 y0
10xy00 yx
✓ 二维图像中的点坐标(x, y)通常表示成齐次坐标(Hx, Hy, H)。
H表示非零的任意实数。 当H＝1时， (x, y, 1)就称为点(x, y)的规范化齐次坐标。 规范化齐次坐标的前两个数是相应二维点的坐标， 没有变化，仅
在原坐标中增加了H＝1的附加坐标。
1. 齐次坐标（几何意义）
齐次坐标相当于点(x, y)落在三维空间H＝1的平面上。 将XOY平面内的三角形abc的各顶点表示成规范化齐次坐标
1 PTP00
0 1
yxxy10 0xy0 0 xyxy
1. 齐次坐标
通常将2×3阶矩阵扩充为3×3阶矩阵以拓宽功能。
1 0 x
T
0
1
y
0 0 1
1 0 xx0 x0x x PTP00 1 yy0y0yy
0 0 11 1 1
这种用n＋1维向量表示n维向量的方法称为齐次坐标表示法。
H x1 H x2 H xn
x1 x2 xn
H y1 H y2 H yn Ty1 y2 yn
H H H3n
1 1 13n
a b p
变换矩阵 T
c
d
q
l m s
二维点集矩阵
x y
i i
2
n
齐次坐标形式 的点集矩阵
xi
y
i
1 3 n
新齐次坐标 的点集矩阵
0 1
x
0
x fx
y0
y fx
图像比例缩放（插值）
比例缩放所产生的图像中的像素可能在原图像中找不到相应 的像素点，这样就必须进行插值处理。 ✓ ①直接赋值为和它最相近的像素值——最邻近插值法 (Nearest Neighbor Interpolation)。
最近邻插值法计算简单，但会出现马赛克现象。
（等比例）缩小
（不等比例）缩小
旋转
变形
图像的几何变换（实质及分类）
图像的几何变换是指使（用户获得或设计的）原始图像按照 需要产生大小、形状和位置的变化。
不改变图像的象素值，而是改变象素所在的几何位置。
✓ ①图像的位置变换
平移、镜像、旋转
✓ ②图像的形状变换
放大、缩小、错切
✓ ③图像的复合变换 ✓ ④透视变换
✓ 如果fx≠fy，图像的比例缩放会改变原始图像的像素间的相 对位置，产生几何畸变。
x fx
y
0
1 0
0 0x0
fy
0
y0
0 1 1
原图像中的点P0(x0, y0)比例缩放后，在新 图像中的对应点为P(x, y)。
1
x0
fx
y
0
0
1
0
0
0
1 fy
x
0
y
1
Hx1 Hy1
Hx2 Hy2
Hxn Hyn
新齐次坐标规范 化后的点集矩阵
x1
y1
H H H 3n
1
x2 y2 1
xn
yn
1 3n
图像的几何变换
几何变换基础 图像比例缩放 图像平移 图像镜像 图像旋转 图像复合变换 透视变换
图像比例缩放
图像比例缩放是指将给定的图像在x轴方向按比例缩放fx倍， 在y轴方向按比例缩放fy倍，从而获得一幅新的图像。 ✓ 如果fx＝fy，即在x轴方向和y轴方向缩放的比率相同，称 这样的比例缩放为图像的全比例缩放。
图像的几何变换
几何变换基础 图像比例缩放 图像平移 图像镜像 图像旋转 图像复合变换 透视变换
几何变换基础
【问题】
✓ 变换中心在坐标原点的比例缩放、反射、错切和旋转等 二维图像的几何变换可以用2×2的变换矩阵表示和实现。
T
a c
b
d
பைடு நூலகம்
✓ 2×2的变换矩阵不能实现图像的平移以及绕任意点的比 例缩放、反射、错切和旋转等二维图像的几何变换。
图像I(x，y)，c=1/k。
I x ,y F i c n x ,i t c n y t
图像按任意比例缩小
图像比例缩放（缩小）
当fx≠fy(fx, fy＞0)时，图像不按比例缩小，这种操作因为在x 方向和y方向的缩小比例不同，一定会带来图像的几何畸变。
图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可相应缩 小。此时，只需在原图像基础上，每行隔一个像素取一点， 每隔一行进行操作，即取原图的偶（奇）数行和偶（奇）数 列构成新的图像。
图像缩小一半
图像按任意比例缩小
图像比例缩放（缩小）
如果图像按任意比例缩小，则需要计算选择的行和列。 M×N大小的原图像F(x，y)缩小为kM×kN大小（k<1）的新