中小学优质课件杨辉三角课件.ppt

n 2 2n
Cn0 2Cn1 3Cn2 L n 1Cnn n 1 2n1
倒序相加法
思考3.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3)
系数最大的项;
解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.
(1)对称性:
C
0 n
,
C
1 n
,
C
2 n
,L
, Cnr，L
,C
n n
.
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1:
C
m n
C nm n
(2)递推性:
除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.
这就是组合数的性质
2:
C
m n1
C
m n
C m1 n
(3)增减性与最大值. 增减性的实质是比较
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
1.3.2《二项式定理 -杨辉三角》
教学目标
• 1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； • 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； • 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高
分析问题和解决问题的能力 学习 • 重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用学
习。 • 难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 • 授课类型：新授课 • 课时安排：1课时 • 教 具：多媒体、实物投影仪
二项式定理(三)─杨辉三角
开门见山
研究系数规 律
性质继续 思考
本课小结
思考三
作业:课本 P43 A 组第 8 题,B 组第 2 题
二项式定理(三)─杨辉三角
把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当
思考:求证：Cn0 2Cn1 3Cn2 L n 1Cnn n 2 2n1
证明：∵ 2 Cn0 2Cn1 3Cn2 L n 1Cnn Cn0 2Cn1 3Cn2 L n 1 Cnn
n 1
Cn0 nCn1 L
2
C n1 n
Cnn
n 2(Cn0 Cn1 Cn2 L Cnn )
(a+b)6…1 6 15 20 1155 6 1
不难发现,表中每行两端都是1，而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两个数的和.事实上，设表中任一 不为1的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1及 Cnr，知道Cn+1r = Cnr-1+Cnr 这就是组合数的性质2.
性质
联系函数
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
Cnk
与C
k n
1的大小.
从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减
小.
C
k n
k
!
n! (n
k
)!
n
k k
1
(k
1)!
n! (n
k
1)!
n
k k
1
C k1 n
(4)各二项式系数的和.Cn0 Cn1 Cn2 L Cnr L Cnn 2n
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，
2 n
)2
L
(Cnn )2
C
n 2n
.
思考3
2答案
学习小结:
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题;
2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值;
3.常用赋值法解决二项式系数问题.
课外思考:
1.求证：Cn0 2Cn1 3Cn2 L n 1Cnn n 2 2n1
3 6 9r
由函数图象也可以很直观地看到 “对称性”、“增减性与最大值”，一目了然.
继续思考1:
试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的 和等于偶数项的二项式系数的和.
即证：Cn0
C
2 n
L
Cn1 Cn3 L
2n1
证明：在展开式Cn0an Cn1an1b L Cnnbn中
……………………
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
思考: 观察二项式系数表，寻求其规律：
(a+b)1…………… 1 1 (a+b)2……………1 2 1
除了这个性质外, 该表还蕴藏有什
(a+b)3…………1 3 33 1
么性质呢?
(a+b)4………1 4 6 4 1
(a+b)5……1 5 1100 10 5 1
n依次取1，2，3，…时，可列成下表：
1
在我国,很早
(a+b)1→ (a+b)2→ (a+b)3→
11 12 1 13 3 1
就有人研究过二 项式系数表,南 宋数学家杨辉在 其所著的《详解
(a+b)4→ 1 4 6 4 1 九章算法》中就
(a+b)5→ 1 5 10 10 5 1有出现.
(a+b)6→ 1 6 15 20 15 6 1
2.(1﹣x )13 的展开式中系数最小的项是 C( )
(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项
作业:课本 P43 A 组第 8 题,B 组第 2 题
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个 表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发 现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代 数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
(Cn0 )2 (Cn1 )2 (Cn2 )2 L
(C
n n
)2
C2nn .
略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开
后比较xn的系数得：
C
C0 n
nn
C
C1 n1
nn
Cn2Cnn2
L
Cnn1Cn1
CnnCn0
C
n 2n
再由
C
m n
C nm n
得
(C
0 n
)2
(C
1 n
)2
(C
令a=1，b=－1得
(1 1)n
即0
C nC0 n0
CCn2 n1
C
L
2 n
CCnn31
L (1)n
Cn3 L
Cnn
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3
Hale Waihona Puke Baidu
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
1答案
2答案
思考2求证:
研究二项式系数的性质．
f(r)
. (a+b)n展开式的二项式系数是
20-
. . C
0 n
,
Cn1
,
C
2 n
,L
, Cnr，L
,C
n n
.
C
r n
可看成是以r为自变量的函数
1106----
f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},当
. . n=6时，其图象是右图中的7个孤立 . . 点.
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