第11章_压杆的稳定性问题

方向均相同。关于四桁架所能承受的最大外力 FPmax 有如下四种结论，试判断哪一种是正确 的。 （A）FPmax(a)=FPmax(c)<FPmax(b)=FPmax(d)； （B）FPmax(a)=FPmax(c)=FPmax(b)=FPmax(d)； （C）FPmax(a)=FPmax(d)<FPmax(b)=FPmax(c)；
11－11 图示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成，
连接处均为铰链，各杆直径均为 d＝40 mm，a＝1 m。材料 均为 Q235 钢，E＝200 GPa，[n]st＝1.8。试；
习题 11－11 图
l．求结构的许可载荷； 2．若 FP 力的方向与 1 中相反，问：许可载荷是否改变，若有改变应为多少？
*11－12 图示结构中，梁与柱的材料均为 Q235
钢 E ＝ 200Gpa ， σs ＝ 240MPa 。均匀分布载荷集度
q=24 kN/m。竖杆为两根 63 mm×63 mm×5 mm 等边
角钢(连结成一整体)。试确定梁与柱的工作安全因 数。
解：1．查型钢表得
习题 11－12 图
No.16aI：Iz = 1130cm4，Wz = 141cm3 2No. 63×63×5： A = 2 × 6.143 = 12.286 cm2
根据支承条件以及轴的几何尺寸，计算轴的长细比
i= d 6 = = 1.5 mm 4 4
μ =1
λ= μl 1× 150 = = 100 > λP 属细长杆 1.5 i
采用，欧拉公式计算临界力
FPcr = σ cr A =
轴的工作安全因数
2 π E
λ2
nw = =
所以，轴不安全。
FPcr π 2 EA = 2 FN λ ( α1 − α2 )( t2 − t1 ) EA π2 = 1.645 < [ n ]st = 2 1002 × 0.5 ×10−5 × 120
i y = 1.94cm I y = 2 × 23.17 = 46.34 cm
－ －
40Cr 钢的σp＝300 MPa，E＝210 GPa。若规定轴的稳定工作安全因数[n]st＝2.0，并且忽略架
身因受力而引起的微小变形，试校核当温度升高到 t2＝60º C 时，该轴是否安全。
习题 11－10 图
解：温升时， α 1 > α 2 使轴受压力 FN。这是轴向载荷作用下的静不定问题。
A
。
π 2 EI min
(μl )2
中各量可知；另外各种钢的弹性模量 E 值
4
11－7 根据压杆稳定设计准则，压杆的许可载荷 [FP ] =σcr A 。当横截面面积 A 增加一倍
[n]st
时，试分析压杆的许可载荷将按下列四种规律中的哪一种变化？ （A）增加 1 倍； （B）增加 2 倍； （C）增加 l／2 倍； （D）压杆的许可载荷随着 A 的增加呈非线性变化。 解：由于 i =
l＝0.5 m，材料为 Q235 钢，顶杆的下端为固定端约束，上端可视为自由端。试求：顶杆的 工作安全因数。 解：1．判断压杆的类型
λ=
μl
i
=
μl
d 4
=
4 × 2 × 0 .5 = 76.9 52 × 10−4
属于中长杆
2．计算临界力
FPcr＝σ cr A = ( a − bλ ) πd 2 4
解：
1．求托架的临界载荷 ①（图（a） ） sin θ =
7 4
C
θ
FAB
(a)
B
D
FP
∑ M C = 0 ， 900FP = 600F AB sin θ
FP = 2 7 F AB sin θ = F AB 3 6
（1）
②
d = 10 mm 4 μl 1 × 800 λ= = = 80 < λ P ，中长杆 i 10 i=
对于 A3 钢， λ P = 102, 第三杆为小柔度杆。 于是，第一杆的临界力
λs = 61.6 。因此，第一杆为大柔度杆，第二杆为中柔度杆，
FPcr = σ cr A =
第二杆的临界力
π 2 E πd 2 π 3 × 200 × 10 6 × 160 2 × 10 −6 = 2540 kN = 125 2 × 4 λ2 4
CD 梁中：
M max = M B = 0.3FP ，
6
FNx = FAB cos θ =
3 cot θ ⋅ FP ， 2
FQ = FP
σ max =
M B FNx + ≤ [σ ] ， W A
3 cot θ ⋅ FP + 2 ≤ 160 × 10 6 ， 30.6 × 10 − 4
0.3FP 185 × 10 −8
σ cr = 304 − 1.14 λ = 304 − 1.14 × 80 = 212.8 MPa
FABcr = σ cr ⋅ A = σ cr ⋅ πd 2 4
2 π = 212.8 × × 40 ×10−3 4 = 0.2674MN = 267.4 kN
(
)
FPcr =
7 × 267.4 kN = 118kN 6
0
-F P -F P
0
习题 11-5 解图
11－6
提高钢制细长压杆承载能力有如下方法．试判断哪一种是最正确的。
（A）减小杆长，减小长度系数，使压杆沿横截面两形心主轴方向的长细比相等； （B）增加横截面面积，减小杆长； （C）增加惯性矩，减小杆长； （D）采用高强度钢。 解：由细长杆临界力公式： FPcr = 差别不大。正确答案是 A 。 正确答案是
[ FP ] =
FPcr 337.6 = = 187.6 kN [ n]st 1.8
2．若 FP 向外，则
F AB = F AD = FBC = FCD = FBD = FP（压）
2 FP （拉） 2
由于此时受压杆 BD 比前一种情况长，所以只要进行稳定计算：
λ=
μl 1× 2 × 1000 = = 141.4 > λp = 100 i 10
λ=
μl 1× 1000 = = 100 < λp = 101 40 i 4
则
8
π FABcr = ( a − bλ ) A = ( 304 − 1.14 × 100 ) × × 402 ×10 4
−6
= 0.2387 MN = 238.7 kN
FPcr = 2 FAB = 2 × 238.7kN = 337.6 kN
6
= ( 304 − 76.9 × 1.12 ) × 10 × = 462.7 ×10 N=462.7 kN
3
π × 52 × 10-3 4
(
)
2
3．确定工作安全因数
F 462.7 nw = Pcr = = 2.77 167 FP
习题 11－8 图
11－9 图示托架中杆 AB 的直径 d＝40 mm。长度 l＝
变形谐调条件为：
α 1 (t 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ t1 )l −
FN l = α 2 (t 2 − t1 )l EA
由此解出轴所受的轴向载荷为：
FN = (α 1 − α 2 )(t 2 − t1 ) EA
弹性屈曲范围的长细比的低限
λP =
2π 2 E
σp
=
2 π 2 × 210 × 109 = 83 300
7
FP ≤ 73.5kN<FPcr = 118kN
所以，托架所能承受的最大载荷为 73.5kN。
11－10 长 l＝50 mm，直径 d＝6 mm 的 40 Cr 钢制微型圆轴，在温度为 t1＝－60º C 时
安装，这时轴既不能沿轴向移动，又不承受轴向载荷，温度升高时，轴和架身将同时因热膨 胀而伸长。轴材料的线膨胀系数α1＝125×10 6/°C；架身材料的线膨胀系数α2＝7.5×10 6/°C。
正确答案是
C
。
（D）不能。因为超过临界载荷后，变形不再是弹性的。
11－2 今有两根材料、 横截面尺寸及支承情况均相同的压杆． 仅知长压杆的长度是短压 杆的长度的两倍。试问在什么条件下短压杆临界力是长压杆临界力的 4 倍?为什么?
2 解：只有当二压杆的柔度 λ ≥ λP 时，才有题中结论。这是因为，欧拉公式 FPcr = π EI ， ( μl ) 2
解：
1． （1）由静力平衡得到：
F AB = F AD = FBC = FCD = 2 FP （压） 2
FDB = FP（拉）
（2）对于拉杆 BC，由强度条件，有
FP = FBD = [σ ] A = 160 × 10 6 × d2 π π = 160 × × 40 2 = 201 kN 4 4
对于 AB 等压杆，需进行稳定计算：
2．校核托架是否安全
当已知工作载荷为 70kN 时 由（1） ， FAB =
nw =
6 7 FP = 158.7 kN
267.4 = 1.685 < [ n ]st ，不安全。 158.7
3．横梁为 No.18 普通热轧工字钢，[σ]＝160Mpa，计算托架所能承受的最大载荷
条件 [σ ] = 160MPa 意谓着既要保证 CD 强度，又要保证 AB 杆稳定。
（a） λ a = （d） λ d =
( μ = 1)
( μ = 0.7) ( μ = 0.5)
4l i
( μ = 2)
可见 λ a > λb > λc > λ d ，故（a）最容易失稳， （d）最不容易失稳。
11－4
三根圆截面压杆的直径均为 d=160mm，材料均为 A3 钢，E＝200GPa，σs＝
800 mm。两端可视为球铰链约束，材料为 Q235 钢。试： 1．求托架的临界载荷。
5 习题 11－9 图
2．若已知工作载荷 FP＝70 kN，并要求杆 AB 的稳定安全因数[n]st=2.0，校核托架是否 安全。 3．若横梁为 No.18 普通热轧工字钢，[σ]＝160Mpa，则托架所能承受的最大载荷有没 有变化？
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（静力学与材料力学）
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（教师用书） (第 11 章) 范钦珊 唐静静
2006-12-18
1
第 11 章
压杆的稳定性问题
11－1 关于钢制细长压杆承受轴向压力达到临界载荷之后， 还能不能继续承载有如下四 种答案，试判断哪一种是正确的。 （A）不能。因为载荷达到临界值时屈曲位移将无限制地增加； （B）能。因为压杆一直到折断时为止都有承载能力； （C）能。只要横截面上的最大正应力不超过比例极限；
I μl ，长细比 λ = ，而临界应力 σ cr A i
正确答案是
D
。
π2 E = 2 或 σ cr = a − bλ λ
所以， σ cr
− A 不存在线性关系， [ FP ] = σ cr A 与面积 A 之间为非线性关系。所以，正确
[ n]st
答案是 D 。
11－8
已知图示液压千斤顶顶杆最大承重量 FP＝167 kN， 顶杆直径 d＝52 mm，长度
240MPa。已知杆的两端均为铰支，长度分别为 l1、l2 及 l3，且 l1=2l2=4l3=5m。试求各杆的临
界力。 解： i = d / 4 = 160 / 4 = 40mm ，
μ =1
i μl λ2 = 2 i μl λ3 = 3 i
λ1 =
μl1
=
5 × 10 3 = 1.25 40 2.5 × 10 3 = = 62.5 40 1.25 × 10 3 = = 31.5 40
FPcr = ( a − bλ ) A = (304 − 1.12 × 62.5) × 10 3 ×
第三杆的临界力
π × 160 2 × 10 −6
4
= 4705kN
FPcr = σ s A = 240 × 10
3
π 3 × 160 2 × 10 −6
4
= 4825kN
3
11－5
图示 a、b、c、d 四桁架的几何尺寸、圆杆的横截面直径、材料、加力点及加力
采用欧拉公式计算临界力
[ FP ] =
= =
[ n]st [ n]st
FPcr
=
FBDcr
−6
σ BDcr A 1 π2 E π = × 2 × × 402 × 10 [ n]st [ n]st λ 4
= 68.9
1 π3 E 1 × × × 402 × 10 −6 1.8 141.42 4 = 68.9 × 10−3 MN = 68.9 kN
正确答案是 A 。
习题 11－5 图
（ D ）
FPmax(a)=FPmax(b)<FPmax(c)=FPmax(d)。 解：各杆内力如习题 11-5 解图所示，由各受杆内力情况可知，应选答案（A） 。
FP
0
FP
− 2 FP
-FP
FP
0
− 2 FP
FP
-F P
2 FP
FP
FP
2 FP
FP
FP
0
0 0
0
只有在弹性范围才成立。这便要求 λ ≥ λP 。
11－3 图示四根压杆的材料及横截面(直径为 d 的圆截面)均相同，试判断哪一根最容易 失稳，哪一根最不容易失稳。
习题 11－3
解：计算各杆之柔度： λ = μl ，各杆之 i 相同
i
2
5l i 4.9l （b） λb = i 4.5l （c） λc = i