第二章1 年金09
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n期标准期末付年金
每次的年金金额为1个货币单位，现金 流在第一个付款期末首次发生，共计n 次
2.1 期末付年金
1 1 1…
1 1 1 (付款额)
0 1 2 3…
n-2 n-1 n（时间）
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
a
s
ni
ni
记号ani －－表示比较日为0时刻的n期标准
期末年金的所有年金金额的现值之和，简记
例2.6 在例2.2中，若存款改为每年年 初进行，其它条件不变，计算每年需 存入的款项。
期末年金与期初年金的关系
1 1 … …1 1
……
（共 n 次付款）
s=
n
d
(2-9A)
a =1+v +v2+…+vn-1= 1 vn
n
d
s = (1+i)+ (1+i)2 +…+(1+i)n = (1 i)n 1
n
d
s = a (1+i)n
n
n
a = s vn nn
11
= +d
as
n
n
(2- 8B)
(2-9B) (2-10A) (2-10B)
(2-11)
例2.5在例2.1的条件下，若将投资支付 改为发生在每年年初，其它条件不变， 计算投资20年末的现值及积累值。
第二章 年金
第一讲 基本年金
年金（annuity）
所谓年金是指一系列按照相等时间间隔支付的款项。也指 以固定的时间周期以相对固定的方式发生现金流，例如房 租、投资所获利息、房贷。
支付期（payment period）
相邻支付年金日期间的时期
确定年金（annuity－certain）
年金支付趋向于一个确定的数目或有确定的起止日期
(1 i)n 1
s=
n
i
(2-1) (2-2A) (2-3) (2-4A)
a n
的基本公式：
1) 1 ia vn n
即： 0时刻1个单位货币的价值
＝(0,n]上每次收入i的现金流价值
＋n时刻一个货币单位的现值(vn )
2) 1 1 a an
n
即： 0时刻一个货币单位的价值 ＝(0,n]上对应的n期期末年金现金流( 1 ) a
为a
n
注：记号
a n
i
也表示利率i环境中标准期末年
金的现金流
注：记号
a n
i
中的a是英文单词的第一个字母，
n表示年金现金流的次数，i表示年金的计算
利率。
计算公式为：
a v v2 v3 .... vn 1 v n
n
i
记号 s ni
－－表示标准期末年金的所有年金
金额在年金结束时刻的终值之和，简记 s n
（1）贷款本金及利息积累值在第10年末一次 性还清；
（2）每年末支付贷款利息，第10年年末归还 本金；
（3）利用基本年金的方式，每年末支付相同的 金额，到第10年末正好还清贷款。
解：
方式(1)：在十年底一次还款为 10000×(1.06)10=17908.48 其中利息为17908.48－ 10000＝7908.48
方式(2) ： 每年所付利息为10000×6％＝600 总的利息付出为600×10＝6000
方式(3) ：设每年还款额为R，价值方程
Ra10!0.06=10000 解出R＝1358.68 10年的付款总额为1358.68×10＝ 13586.8 其中的利息总额为13586.8 －10000＝ 3586.8元 思考：为什么方式(3)的利息金额较方式(2)和方式(1)明显的 小？
计算公式：
s 1 (1 i) (1 i)2 .... (1 i)n1 n (1 i)n 1 i
1 本金
i i i…
i i i 利息流
0 1 2 3…
n-2 n-1 n 时间
投资 1
图（2-2）在利率条件 i 下，投资 1 产生的现金流图
1=i a +vn n
1 vn
a=
ni
i
(1+i)n=1+i s n
例2.2 某人希望通过等额的年度存款在 10年后攒够100000元，在年度实质利 率8%的情况下，问每年末需存入多少 钱，才能达到其要求。
例2.3 某人在银行存入10000元，计划 分4年等额支取完，每年末支取一次， 银行的年度实质利率为7%。计算该人 每次可支取的金额。
例2.4 某人从银行借得贷款10000元，期限为 10年，年实质利率为6%，计算下面三种还 款方式中，所需支付总的利息金额。
2.2 期初付年金
期初年金
在合同生效时立即发生首次的现金流， 随后依次分期进行的年金方式。
N期标准期初年金
每次的年金金额为1单位货币，在合同 生效时立即发生首次的现金流，共计n 次
2.2 期初付年金
1111
1
1
付款额
0 12 3
n-2 n-1 n 时间
图（2-3）初付年金付款情况图
记号a 表示标准期初年金的现值之和 ni
记号s 表示标准期初年金的终值之和 ni
1 本金
d d d d…
dd
利息流
0 1 2 3…
n-2 n-1 n 时间
本金wenku.baidu.com出
1
图（2-4） 投资 1 产生的以贴现的方式支付利息的现金流图
1=d a +vn n
(2-7A)
1 vn a=
nd 1+d s =(1+i)n
n
(2-8A) (2-7B)
(1 i)n 1
不确定年金、或有年金（contingent annuity）
非肯定支付的年金，如：生命年金、退休福利。
基本年金
① 付款时间间隔相等 ② 每次付款额度相同 ③ 付款的频率与计息的频率相同
基本年金主要分为期末付年金和期初付年 金两种典型情形。
2.1 期末付年金
期末付年金
也叫延付年金，年金现金流在第一个付 款期末首次发生，随后依次分期进行
n
n
注： (1 i)n为期初到期末的累积因子
2） 1 ＝ 1 i
as
n
n
注：由 1）可得
1 s
i
a
1 (1 i)n
i
n
n
1 (1 i)n 1 a (1 i)n
1 a
n
n
注：年金的要求是定期支付，间隔相等， 但却不一定是“年度”的。具体计算可 利用年金表或直接做数值计算。
例2.1 计算年利率为2.5%的条件下，每 年年末投资3000元，投资20年的现值 及积累值。
n
s n
的基本公式
1) (1 i)n 1 is n
即：0时刻一个单位货币在n时刻的价值 ＝（0，n]上每次收入i的现金流终值（is ）
n
＋n时刻一个单位货币（本金）
2）1＝ 1 s sn
n
即：n时刻一单位货币的价值 ＝（0，n]上对应的n期期末年金现金流( 1 )
s n
s 与a 关系式：
n
n
1） s ＝a (1 i)n
每次的年金金额为1个货币单位，现金 流在第一个付款期末首次发生，共计n 次
2.1 期末付年金
1 1 1…
1 1 1 (付款额)
0 1 2 3…
n-2 n-1 n（时间）
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
a
s
ni
ni
记号ani －－表示比较日为0时刻的n期标准
期末年金的所有年金金额的现值之和，简记
例2.6 在例2.2中，若存款改为每年年 初进行，其它条件不变，计算每年需 存入的款项。
期末年金与期初年金的关系
1 1 … …1 1
……
（共 n 次付款）
s=
n
d
(2-9A)
a =1+v +v2+…+vn-1= 1 vn
n
d
s = (1+i)+ (1+i)2 +…+(1+i)n = (1 i)n 1
n
d
s = a (1+i)n
n
n
a = s vn nn
11
= +d
as
n
n
(2- 8B)
(2-9B) (2-10A) (2-10B)
(2-11)
例2.5在例2.1的条件下，若将投资支付 改为发生在每年年初，其它条件不变， 计算投资20年末的现值及积累值。
第二章 年金
第一讲 基本年金
年金（annuity）
所谓年金是指一系列按照相等时间间隔支付的款项。也指 以固定的时间周期以相对固定的方式发生现金流，例如房 租、投资所获利息、房贷。
支付期（payment period）
相邻支付年金日期间的时期
确定年金（annuity－certain）
年金支付趋向于一个确定的数目或有确定的起止日期
(1 i)n 1
s=
n
i
(2-1) (2-2A) (2-3) (2-4A)
a n
的基本公式：
1) 1 ia vn n
即： 0时刻1个单位货币的价值
＝(0,n]上每次收入i的现金流价值
＋n时刻一个货币单位的现值(vn )
2) 1 1 a an
n
即： 0时刻一个货币单位的价值 ＝(0,n]上对应的n期期末年金现金流( 1 ) a
为a
n
注：记号
a n
i
也表示利率i环境中标准期末年
金的现金流
注：记号
a n
i
中的a是英文单词的第一个字母，
n表示年金现金流的次数，i表示年金的计算
利率。
计算公式为：
a v v2 v3 .... vn 1 v n
n
i
记号 s ni
－－表示标准期末年金的所有年金
金额在年金结束时刻的终值之和，简记 s n
（1）贷款本金及利息积累值在第10年末一次 性还清；
（2）每年末支付贷款利息，第10年年末归还 本金；
（3）利用基本年金的方式，每年末支付相同的 金额，到第10年末正好还清贷款。
解：
方式(1)：在十年底一次还款为 10000×(1.06)10=17908.48 其中利息为17908.48－ 10000＝7908.48
方式(2) ： 每年所付利息为10000×6％＝600 总的利息付出为600×10＝6000
方式(3) ：设每年还款额为R，价值方程
Ra10!0.06=10000 解出R＝1358.68 10年的付款总额为1358.68×10＝ 13586.8 其中的利息总额为13586.8 －10000＝ 3586.8元 思考：为什么方式(3)的利息金额较方式(2)和方式(1)明显的 小？
计算公式：
s 1 (1 i) (1 i)2 .... (1 i)n1 n (1 i)n 1 i
1 本金
i i i…
i i i 利息流
0 1 2 3…
n-2 n-1 n 时间
投资 1
图（2-2）在利率条件 i 下，投资 1 产生的现金流图
1=i a +vn n
1 vn
a=
ni
i
(1+i)n=1+i s n
例2.2 某人希望通过等额的年度存款在 10年后攒够100000元，在年度实质利 率8%的情况下，问每年末需存入多少 钱，才能达到其要求。
例2.3 某人在银行存入10000元，计划 分4年等额支取完，每年末支取一次， 银行的年度实质利率为7%。计算该人 每次可支取的金额。
例2.4 某人从银行借得贷款10000元，期限为 10年，年实质利率为6%，计算下面三种还 款方式中，所需支付总的利息金额。
2.2 期初付年金
期初年金
在合同生效时立即发生首次的现金流， 随后依次分期进行的年金方式。
N期标准期初年金
每次的年金金额为1单位货币，在合同 生效时立即发生首次的现金流，共计n 次
2.2 期初付年金
1111
1
1
付款额
0 12 3
n-2 n-1 n 时间
图（2-3）初付年金付款情况图
记号a 表示标准期初年金的现值之和 ni
记号s 表示标准期初年金的终值之和 ni
1 本金
d d d d…
dd
利息流
0 1 2 3…
n-2 n-1 n 时间
本金wenku.baidu.com出
1
图（2-4） 投资 1 产生的以贴现的方式支付利息的现金流图
1=d a +vn n
(2-7A)
1 vn a=
nd 1+d s =(1+i)n
n
(2-8A) (2-7B)
(1 i)n 1
不确定年金、或有年金（contingent annuity）
非肯定支付的年金，如：生命年金、退休福利。
基本年金
① 付款时间间隔相等 ② 每次付款额度相同 ③ 付款的频率与计息的频率相同
基本年金主要分为期末付年金和期初付年 金两种典型情形。
2.1 期末付年金
期末付年金
也叫延付年金，年金现金流在第一个付 款期末首次发生，随后依次分期进行
n
n
注： (1 i)n为期初到期末的累积因子
2） 1 ＝ 1 i
as
n
n
注：由 1）可得
1 s
i
a
1 (1 i)n
i
n
n
1 (1 i)n 1 a (1 i)n
1 a
n
n
注：年金的要求是定期支付，间隔相等， 但却不一定是“年度”的。具体计算可 利用年金表或直接做数值计算。
例2.1 计算年利率为2.5%的条件下，每 年年末投资3000元，投资20年的现值 及积累值。
n
s n
的基本公式
1) (1 i)n 1 is n
即：0时刻一个单位货币在n时刻的价值 ＝（0，n]上每次收入i的现金流终值（is ）
n
＋n时刻一个单位货币（本金）
2）1＝ 1 s sn
n
即：n时刻一单位货币的价值 ＝（0，n]上对应的n期期末年金现金流( 1 )
s n
s 与a 关系式：
n
n
1） s ＝a (1 i)n