基本图形-一线三等角

基本图形：一线三等角，相似两边找

“一线三等角”这个基本图形性质虽然不同，就是可以得到一组相似三角形而已，但因为这组相似三角形的对应关系较难看出，因此根据这个基本图形先判断存在着一组相似三角形，就有其价值了。

例1：在等腰△ABC中，AB=AC,D是BC上的一点，作∠ADE=∠B,问：△ABD与△DCE相似吗？如果相似，请写出这组相似三角形顶点和边的对应关系。

例2：在等边△ABC中，将角A翻折，使点A落在BC边的D点上，EF为折痕，求证：△BED ∽△CDF.并写出对应线段比例式。

例3.在矩形ABCD中，AD=4，CD=5，点F在AD上，将角D沿CF翻折,使点D落在AB边的

点E处，求

BEC

AEF

S

S

∆

∆

:的值。

讲评：从这个例子，我们可以提炼出如下基本图形：“三个相等的顶点在一直线上，就有两个三角形相似”这个结论。这就成为一个基本图形，简称“一线三等角”。

如图，当∠A=∠B=∠EDC时，就有△ADE∽△CDB；

其证明只要用到外角知识。“一线三等角”不能作为定理直接引用，因此在书写证明时，还得用外角知识重新证明。

数学上特别注意的是，这对相似三角形的对应关系不太“顺眼”，要把其中一个三角形转过一个角度后，才比较容易看出顶点的对应关系和对应边。比较好的记忆方法“逆时针比例法”：从图中的点E出发，沿逆时针沿外周绕，得比例EA:AD=DB:BC.

例4：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=2，BC=8，∠MEN=∠B. ∠MEN 的顶点E在边BC上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F,连接AF。设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数定义域。

例5：如图，在RtABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，O是AB上一点，AO=4，P是AC上动点，过点P做OP的垂线交边BC于点Q,设AP=x,CQ=y,试求y关于x的函数解析式，并写出定义域。

例6：如图，若∠B=∠EDC=∠A，且点D是BC的中点,请问：图中是否产生新的相似三角形？请证明:并写出哪些角相等，哪些线段比相等。

讲评：本题反映的是一个基本图形“一线三等角+中点”。上图中，若∠B=∠EDC=∠A，且D 是BC中点，那么有三个三角形相似：△EAD∽△DEC∽△DBC.同样地，其同样地，其对应关系值得重视。不过，这个对应关系比较“顺”，只要假想把AB的中点D沿AB“滑”向A点（或B点），夹∠A（或∠B）两边与夹∠EDC的两边对应关系呈现左对左、右对右的格局。

例7：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3.M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B,射线MF交腰CD于点F，连接EF.

（1）求证：△MEF∽△BEM；

（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；

（3）若EF⊥CD，求BE的长。

1.基本图形“一线三等角”：三个相等的角的顶点在一条直线上，就有两个三个三角形相似。

2.基本图形“一线三等角+中点”。三个相等的角的顶点A 、D 、B 在一条直线上，位于中间的那个顶点D ，如果线段AB 的中点，那么就有三个三角形相似。

3.一线三等角这个基本图形常出现在等腰三角形底边，等腰梯形的底边，矩形的一边等场合。

4.有时可以利用一线三等角这个基本图形添辅助线。

练习：

1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD=8，BC=6，∠ABD=∠C,P 是CD 上的一个动点（P 不与点C 点D 重合），且满足条件：∠BPE=∠C,交BD 于点E ，求证：△BCP ∽△PDE;

2.如图，在正方形ABCD 中，AB=5，E 是直线BC 上的一点，连接AE ，

过点E 作EF ⊥AE,交直线CD 于点F,当E 点在BC 边上运动时，设线段

BE 的长为x ，线段CF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定

义域。

3.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD

（1）如图，P 为AD 上一点，满足A BPC ∠=∠.

①求证：△ABP ∽△DPC;

②求AP 的长。

（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 不与点A 、D 重合），且满足

A BPE ∠=∠,PE 交直线BC 于点E,同时交直线DC 于点Q ，那么

①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设y CQ x AP ==,,求y 关于x 的

函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE=1时，写出AP 的长（不必写出解答过程）

4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，BC=6，

∠

=

=

∠,点E、F分别在BC、AC上（点

AEF

B

DAC∠

E与B、C不重合），设BC=x，AF=y.

（1）求证：△ABE∽△ECF;

（2）求y与x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围；

（3）当点E在BC上移动时，△AEF是否有可能是一个直角三角形？若有可能，请求出BE的长，若不能，请说明理由。