第三章 离散小波变换

由重建核方程，可知，不是任意函数序列 都可以作为某一函数的二进小波变换，只 有当它们都满足重建核方程时，才能看做 某一函数的二进小波变换。
（3）二进小波具有时移性。 f(t)平移的二进小波变换等于它的二进小波 变换的平移。论证
3.3.3 二进正交小波
| ψ (ω ) |2 = 1 设 ψ (t ) ∈ L ( R) ，且满足 ∑
( j0 , k0 )点的WT为： f ( j0 , k0 ) = ∫ f (t )ψ WT
j0 ,k0
(t )dt
将f(t)代入上式有：
1 WT f ( j0 , k0 ) = ∑∑ Kψ ( j0 , k0 ; j , k )WT f ( j , k )dt A j k
式中
Kψ ( j0 , k0 ; j , k ) = ∫ψ j ,k (t ) *0 ,k0 (t )dt =< ψ j ,k (t ),ψ j0 ,k0 (t ) > ψj
k∈Z
f (t ) = ∑ < f ,ψ k > k (t ) = ∑ < f ,ψ k >ψ k (t ) ψ
~
~
如果A=B=1，这时 ψ k 是一组正交基，所 以重建公式为： (t ) = ∑ < f ,ψ k >ψ k (t ) f
k∈Z
k
k
通过框架对原函数进行重建
1 f (t ) = ∑ < f ,ψ k > k (t ) ψ 在紧框架情况下， A k∈Z
3.3 二进小波变换
二进小波的表示形式。
t τ ψ 2k ,τ (t ) = 2 ψ ( k ) 2
k 2
3.3.1 二进小波变换及其逆变换
令小波函数为ψ (t ) ，其傅立叶变换为 ψ (ω ) ， 若存在常数A，B，当 0 < A ≤ B < ∞ ，使 k 2 得 A≤ | ψ (2 ω ) | ≤ B
2 2 j k
ψ 我们称 { j ,k (t )}j ,k∈Z 都成了一个框架，上式为小 波框架条件。 2 j α 其频域表示为： ≤ ∑ | ψ (2 ω )j | ≤ β ,0 < α < β < ∞ j∈Z~ ~ ψ j ,k (t ) 的对偶函数 ψ j ,k = 2 2 ψ (2 j t k ) 也构 成一个框架。
如果 A ≠ B ，我们定义算子S如下： Sf (t ) = ∑ < f ,ψ k > ψ k (t ) 求逆，得：
k∈Z
k∈Z
f (t ) = S 1[∑ < f ,ψ k > ψ k (t )] = ∑ < f ,ψ k >S 1ψ k
S 1ψ k = ψ k ，重构公式才成立。 这时，只有 当 A ≠ B 的时候，如果A，B越接近，上式
(t )dt
离散化过程中的两个问题
一、离散小波能否完全表征函数f(t)的全部 信息。 二、是否任何函数f(t)都可以表示为以ψ j ,k (t ) 为单位的加权和。即
f (t ) =
j , k∈Z
∑c
j ,k
ψ j ,k (t )
如果可以，系数 c j ,k 如何求？
3.2 小波的框架理论
3.2.1 框架 1 框架的定义 { k }k∈Z，如 ψ 在希尔伯特空间H中有一族函数 果存在0<A<B<∞，对所有的f∈H，有： 0<A<B<∞ f H
j 2
离散小波变换的定义为：
WT f (a , kτ 0 ) = ∫ f (t )ψ
j 0 a0j , kτ 0
(t )dt , j = 0,1,2, …，k ∈ Z
一般，取a0=2，则a=2j，τ=2jkτ0，则采样间 隔为τ=2jτ0 当a=2j时，τ的采样间隔是 2jτ0 ，此时， ψ a ,τ (t ) 变为：
~
k∈Z
的误差越小。
4. 框架和Riesz基
Riesz基的定义： ψ 设有{ k }k∈Z满足下列要求：
2 (1) A∑ ck ≤ k∈Z
ckψ k ≤ B ∑ ck2 ∑
k∈Z k∈Z
(2)当∑ ckψ k = 0时，
ψ 便意味着 ck = 0 ，也就是要求{ k }k∈Z 是一组 线性独立族。 ψ 则称 { k }k∈Z 为一组Riesz基。
第三章 离散小波变换
3.1 尺度和位移的离散化方法
对于连续小波而言，尺度a、时间 t和与时间有关的偏移量τ都是连 续的。如果利用计算机计算，就 必须对它们进行离散化处理，得 到离散小波变换。
本章主要内容
尺度和位移的离散化方法 小波框架理论 二进小波变换
3.1 尺度和位移的离散化方法
为了减小小波变换系数的冗余度， 1 t τ ψ (t ) = ψ( ) 我们将小波基函数 a a 的a、τ限定在一些离散的点上取值。
2 ψ (2 j t kτ 0 ),即ψ j ,k (t ), j = 0,1,2, …；k ∈ Z
j 2
一般，将τ0归一化，即τ0=1，于是有：
ψ j ,k (t ) = 2 ψ (2 t k )
j
j 2
此时，对应的WTf为：
WT f ( j , k ) = ∫ f (t )ψ
j ,k
2
2.对偶框架的定义
对偶函数：
ψ k 的对偶函数 ψ k 也构成一个框架，其框 架的上下界是 ψ k上下界的倒数。即：
~
1 f A
2
1 2 ≤ ∑ |< f ,ψ k >| ≤ f ,0 < A < B < ∞ B
~ 2
3. 通过框架对原函数进行重建
ψ 重构定理：令 f (t ) ∈ H , { k }k∈Z 是H的一个框架， ~ ψ k 为其对偶框架，则f(t)通过下式重构：
此式说明二进小波 ψ 2 ,τ (t ) 构成了L2 ( R ) 的 一个框架，所以它的小波逆变换公式是存 在的。 二进小波的重建公式为：
f (t ) = ∑ ∫ WT2k (τ ) 2 j ,τ (t )dτ ψ
k∈Z R
3.3.2
二进小波的性质
（1）二进小波满足小波母函数容许性条件， 即二进小波必为基本小波。 （2）二进小波是冗余的。 由框架理论知：当不满足A=B=1时，框架 是冗余的，也就是二进变换系数之间具有 一定的相关性。二进变换系数之间的关系 满足重建核方程。
WT2 j (τ )
k 2
R
2
设 的傅立叶变换为 WT 2 (ω ) ，由卷积 j 定理得： ^ jωτ k j (ω ) = F (ω ) 2 2 e WT 2 ψ (2 ω )
j
^
对
f (t ) ∈ L2 ( R ) ，总有关系式：
A f
2
≤ ∑ WT2 j (τ ) ≤ B f
k∈Z
j
2
0
τ = ka jτ 0
ψ 因此在尺度j下，由于 (a t ) 的宽度是ψ (t ) 的a j 倍，因此采样间隔可扩大a0 ，而不会引起 ψ 信息的丢失。 a,τ(t) 可写成：
j 0
j 0
a0 ψ [a (t ka τ )] = a0 ψ [a t kτ 0 )]
j 0 j 0 0 j 0
j 2
3.离散小波变换的逆变换
如果离散小波序列 ψ j ,k j ,k∈Z 构成一个框架， 上下界为A和B，根据上节讨论的函数框架 重建原理，当A=B时，离散小波的逆变换为：
f (t ) = ∑ < f ,ψ j ,k
j ,k
{ }
1 > ψ j ,k (t ) = ∑ WT f ( j , k ) ψ j ,k (t ) A j ,k
∑
k∈ ∈Z
此时， ψ (t ) 才是一个二进小波，上式为二 进小波的稳定性条件。
定义函数 f (t ) ∈ L2 ( R) 的二进小波变换系数为： τ t 2 WT2 (τ ) = f (t ) *ψ 2 ,τ (t ) = 2 ∫ f (t )ψ ( k )dt
k k k
其中： ψ k = 2 ψ ( t τ ) k 2 ,τ 2
A f
2
≤ ∑ |< f ,ψ k >| ≤ B f
2 k
2
ψ 称 { k }k∈Z 是H中的一个框架。 常数A、B的意义。
框架的定义
若A=B，则称为紧致框架，此时： 2 2 ∑ | f ,ψ k | = A f
k
如果A=B=1，则
∑ | f ,ψ
k
k
| = f
2
2
ψ 此时， { k }k∈Z 是正交框架，若 ψ k = 1 ， ψ 则 { k }k∈Z 是规范正交基。
~
当 A ≠ B 时，但二者比较接近时，作为一 ~ 阶逼近，可取 ψ (t ) = 2 ψ (t )
j ,k
A+ B
j ,k
所以重建公式近似于：
2 f (t ) = A+ B
j , k∈Z
∑ < f ,ψ
j ,k
> j ,k (t ) ψ
同样，A和B越接近，误差就越小。 在紧框架情况下，
1 f (t ) = ∑∑ WTx ( j , k )ψ j ,k (t ) A j k
k∈Z
3.2.2 小波框架
1.小波框架的定义： 如果当基本小波函数ψ（t）经伸缩和位移 引出的函数族 j j 2 ψ j ,k (t ) = 2 ψ (2 t k ), j , k ∈ Z 具有如下性质：
A f
2
≤ ∑∑ |< f ,ψ j ,k >| ≤ B f ,0 < A < B < ∞
a ,τ
离散化方法
（1）尺度的离散化。目前通行的做法 是对尺度进行幂数级离散化。即令a取 j a = a0 , a0 > 0, j ∈ Z
对应的小波函数是： a ψ [a (t τ )], j = 0,1,2 …
j 0 j 2 0
离散化方法
（2）位移离散化。 通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时 间轴， τ满足Nyquist采样定理。在a=2j时， 沿τ轴的响应采样间隔是2j τ0，在a0=2情况 下，j增加1，则尺度a增加一倍，对应的频 率减小一半。此时采样率可降低一半而不 导致引起信息的丢失。
1 f A
2
≤ ∑∑ |< f ,ψ
j k
~
j ,k
1 2 >| ≤ f ,0 < A < B < ∞ B
2
2.小波框架的性质
（1）满足框架条件的 ψ j ,k (t )，其基本小波ψ (t ) 必定满足容许性条件。 （2）离散小波变换具有非收缩时移共变性。 ψ t) （3）离散小波框架 { j ,k (t)}j ,k∈Z 存在冗余性。
2
我们称 ψ (t ) 为二进正交小波变换，尺度参 数核平移参数按 a0 = 2,τ 0 = 1 离散化，二进 正交小波为：
kຫໍສະໝຸດ BaiduZ
ψ j ,n (t ) = 2 ψ (2 t n), k , n ∈ Z
j
j 2