第三章 水文统计方法
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二、总体和样本
总体：在统计数学上，把研究对象的全体称为总体。 样本：从总体中任意抽取的一部分叫做样本。
三、随机变量的概率分布
概率分布：随机变量可以取所有可能值中的任意一个值， 但是取某一可能值的机会（概率）是不同的，有的机会大， 有的机会小，随机变量的取值与其概率有一定的关系。
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1.离散型随机变量概率分布： 2.连续型随机变量概率分布：
1.12
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五、正态分布
自然界中许多随机变量，如：水文测量误差、抽 样误差等，都服从或近似服从正态分布。
密度函数：
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密度曲线：
面积 99.7%
正态分布密度曲线三个特点： （1）单峰； （2）曲线关于均值对称，Cs=0
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三、概率
概率：反映随机事件出现的可能性大小的数量标准。 计算如下：
P(A)=k/n （1）k为有利于随机事件A的可能结果数；
（2）n为试验中所有可能出现的结果数。 概率公式只适用于古典概率事件，也就试验的所有可能结果 都是等可能的，且可能结果的总数是有限的。
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四、频率
设事件A在n次试验中出现了m次，则称为事件A在n次试验中出 现的频率。
引入“变差系数”
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⒊ 变差系数（Cv）：反映系列中各变量值相对集 中或离散的程 度。 （值越小分布越集中）
例：
5， 10， 15
x=10 σ=4.08
Cv=0.48
995，100我0，国1降00水5 量与x径=1流00量0 的变σ差=系4.数08，一般
Cv=0.0048
是
南方小，北方大；沿海精品课小件 ，内陆大；平原小，
均情况。
模比系数：K i
xi x
11 ni n 1K i K 1K 2n K n
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⒉ 均方差：反映系列中各变量值绝对集中或离 散的程度。（均方差越小分布越集中）
例：5，10，15 σ = 4.08 1，10，19 σ = 7.35
均值相同时，均方差可以反映不同系列的离
散程度；但均值不同时，却无法比较-----因此，
F(x)= P(X≥x) 它代表随机变量X大于某一取值x的概率。
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分布曲线 （频率曲线）
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四、随机变量的统计参数
随机变量的分布参数（统计参数）：能说明随机 变量统计规律的某些特征数字。
水文计算中常用的统计参数有：均值、均方差、 变差系数和偏态系数、矩。
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⒈ 均值(x)：表示随机变量系列中各变量值 平
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水文统计任务就是研究和分析水文现象的统计变化，并以 此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在概率意义 下的定量预估。 基本方法和具体的内容有以下三点： （1）根据已有的资料进行频率计算，推求指定频率的水文 特征值。 （2）研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长、 插补水文特征值和水文预报。 （3）根据误差理论，估计水文计算中的随机误差范围。
对于连续型随机变量，无法研究个别的概率，只
能研究某个区间的概率，或是研究事件X ≥ x的概率（累 计概率），以及事件X ≤ x的概率。（水文统计中常用X ≥ x的概率及其分布）
设事件X ≥ x的概率用P(X≥x)来表示，它是随 机变量x取值而变化的。 P(X≥x)是x的函数，称为随机变 量x的分布函数，记为F(x):
意义：表明若水位为25m时对桥梁会有威胁，则高于25m的 水位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为30％。
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第三节 随机变量及其概率分布
一、随机变量
随试验结果而发生变化的变量，用 X 表示，取值用 xi
表
示 。例: 水文特征值：年径流、洪峰流量。
随机变量分类： 1、离散型随机变量： 2、 连续型随机变量：水文特征值属连续型随机变量。
第三章 水文统计方法
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第一节 水文统计的意义
一、水文现象的随机性
水文现象：是指地球上的水受外部作用而产生的永无休止的
运动形式,即降雨，入渗，径流，蒸发等现象的统称。
水文现象的随机性：影响水文现象的因素众多，同时各种因 素本身及其组合在时间上、变化上也是错中复杂的，这使得 水文现象在发生时间和数值上不会完全重复，具有一定的偶 尔性和不确定性特点，即随机性。
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第二节 概率的基本概念
一、随机试验
随机试验（E）：在概率论中，对随机现象的观测。
具有三个特点： （1）在相同条件下重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的
所有可能结果； （3）进行一次试验，试验之前不能确定哪一个结果会出现。
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二、事件
事件：指在一定的条件组合下，随机试验的结果。 可以是数量性质也可以是属性性质。 事件可以分为三类： （1）必然事件； （2）不可能事件； （3）随机事件。（事件）
(xi-x)3 1000000
0 -3375 -42875 -125000 165750
1.12
Ki 1.5
1 0.925 0.825 0.75
Ki-1 0.5
0 -0.075 -0.175 -0.25
(Ki-1)3 0.125
0 -0.00042187 -0.00535938
-0.015625 0.10359375
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二、水文现象的统计规律
水文现象的统计规律：经过长期的水文观测，各种水文的随机 现象所呈现出来的规律。
三、水文统计及其任务
数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论。 而有随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和 规律的学科称为数理统计学。 水文统计：概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上。
⒋ 偏态系数（Cs）:反映系列中各变量值在均 值 两边的对称程度。（衡量系列不对称程度 的 参数）
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样本Байду номын сангаас列统计参数计算
样本 系列
1
300
2
200
3
185
4
165
5
150
均值 200
均方差
变差系数
偏态系数
(xi-x)2 10000
0 225 1225 2500 2790 52.8 0.264102
W(A)=m/n 当试验次数n不大时，事件频率很不稳定，具有随机性； 当试验次数n足够大时，事件频率与概率之差会达到任意小的
程度。
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五. 累计频率（P）：等量和超量值的频率之和（累计）。
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某桥位处测得40年最高水位资料如下表，求水位 ≥25m时的累积频率。
解：当水位H＝25m时，W=25% H＝30m（大于25m）时， W=5% P=25%+5%=30%
二、总体和样本
总体：在统计数学上，把研究对象的全体称为总体。 样本：从总体中任意抽取的一部分叫做样本。
三、随机变量的概率分布
概率分布：随机变量可以取所有可能值中的任意一个值， 但是取某一可能值的机会（概率）是不同的，有的机会大， 有的机会小，随机变量的取值与其概率有一定的关系。
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1.离散型随机变量概率分布： 2.连续型随机变量概率分布：
1.12
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五、正态分布
自然界中许多随机变量，如：水文测量误差、抽 样误差等，都服从或近似服从正态分布。
密度函数：
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密度曲线：
面积 99.7%
正态分布密度曲线三个特点： （1）单峰； （2）曲线关于均值对称，Cs=0
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三、概率
概率：反映随机事件出现的可能性大小的数量标准。 计算如下：
P(A)=k/n （1）k为有利于随机事件A的可能结果数；
（2）n为试验中所有可能出现的结果数。 概率公式只适用于古典概率事件，也就试验的所有可能结果 都是等可能的，且可能结果的总数是有限的。
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四、频率
设事件A在n次试验中出现了m次，则称为事件A在n次试验中出 现的频率。
引入“变差系数”
精品课件
⒊ 变差系数（Cv）：反映系列中各变量值相对集 中或离散的程 度。 （值越小分布越集中）
例：
5， 10， 15
x=10 σ=4.08
Cv=0.48
995，100我0，国1降00水5 量与x径=1流00量0 的变σ差=系4.数08，一般
Cv=0.0048
是
南方小，北方大；沿海精品课小件 ，内陆大；平原小，
均情况。
模比系数：K i
xi x
11 ni n 1K i K 1K 2n K n
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⒉ 均方差：反映系列中各变量值绝对集中或离 散的程度。（均方差越小分布越集中）
例：5，10，15 σ = 4.08 1，10，19 σ = 7.35
均值相同时，均方差可以反映不同系列的离
散程度；但均值不同时，却无法比较-----因此，
F(x)= P(X≥x) 它代表随机变量X大于某一取值x的概率。
精品课件
分布曲线 （频率曲线）
精品课件
四、随机变量的统计参数
随机变量的分布参数（统计参数）：能说明随机 变量统计规律的某些特征数字。
水文计算中常用的统计参数有：均值、均方差、 变差系数和偏态系数、矩。
精品课件
⒈ 均值(x)：表示随机变量系列中各变量值 平
精品课件
水文统计任务就是研究和分析水文现象的统计变化，并以 此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在概率意义 下的定量预估。 基本方法和具体的内容有以下三点： （1）根据已有的资料进行频率计算，推求指定频率的水文 特征值。 （2）研究水文现象之间的统计关系，应用这种关系延长、 插补水文特征值和水文预报。 （3）根据误差理论，估计水文计算中的随机误差范围。
对于连续型随机变量，无法研究个别的概率，只
能研究某个区间的概率，或是研究事件X ≥ x的概率（累 计概率），以及事件X ≤ x的概率。（水文统计中常用X ≥ x的概率及其分布）
设事件X ≥ x的概率用P(X≥x)来表示，它是随 机变量x取值而变化的。 P(X≥x)是x的函数，称为随机变 量x的分布函数，记为F(x):
意义：表明若水位为25m时对桥梁会有威胁，则高于25m的 水位对桥梁都会有威胁，其发生的可能性应为30％。
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第三节 随机变量及其概率分布
一、随机变量
随试验结果而发生变化的变量，用 X 表示，取值用 xi
表
示 。例: 水文特征值：年径流、洪峰流量。
随机变量分类： 1、离散型随机变量： 2、 连续型随机变量：水文特征值属连续型随机变量。
第三章 水文统计方法
精品课件
第一节 水文统计的意义
一、水文现象的随机性
水文现象：是指地球上的水受外部作用而产生的永无休止的
运动形式,即降雨，入渗，径流，蒸发等现象的统称。
水文现象的随机性：影响水文现象的因素众多，同时各种因 素本身及其组合在时间上、变化上也是错中复杂的，这使得 水文现象在发生时间和数值上不会完全重复，具有一定的偶 尔性和不确定性特点，即随机性。
精品课件
第二节 概率的基本概念
一、随机试验
随机试验（E）：在概率论中，对随机现象的观测。
具有三个特点： （1）在相同条件下重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的
所有可能结果； （3）进行一次试验，试验之前不能确定哪一个结果会出现。
精品课件
二、事件
事件：指在一定的条件组合下，随机试验的结果。 可以是数量性质也可以是属性性质。 事件可以分为三类： （1）必然事件； （2）不可能事件； （3）随机事件。（事件）
(xi-x)3 1000000
0 -3375 -42875 -125000 165750
1.12
Ki 1.5
1 0.925 0.825 0.75
Ki-1 0.5
0 -0.075 -0.175 -0.25
(Ki-1)3 0.125
0 -0.00042187 -0.00535938
-0.015625 0.10359375
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二、水文现象的统计规律
水文现象的统计规律：经过长期的水文观测，各种水文的随机 现象所呈现出来的规律。
三、水文统计及其任务
数学中研究随机现象统计规律的学科称为概率论。 而有随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和 规律的学科称为数理统计学。 水文统计：概率论与数理统计学应用到水文分析与计算上。
⒋ 偏态系数（Cs）:反映系列中各变量值在均 值 两边的对称程度。（衡量系列不对称程度 的 参数）
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样本Байду номын сангаас列统计参数计算
样本 系列
1
300
2
200
3
185
4
165
5
150
均值 200
均方差
变差系数
偏态系数
(xi-x)2 10000
0 225 1225 2500 2790 52.8 0.264102
W(A)=m/n 当试验次数n不大时，事件频率很不稳定，具有随机性； 当试验次数n足够大时，事件频率与概率之差会达到任意小的
程度。
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五. 累计频率（P）：等量和超量值的频率之和（累计）。
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某桥位处测得40年最高水位资料如下表，求水位 ≥25m时的累积频率。
解：当水位H＝25m时，W=25% H＝30m（大于25m）时， W=5% P=25%+5%=30%