巧用平抛运动的两个重要推论解题

巧用平抛运动的两个重要推论解题

推论1：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为ϕ，则tan 2tan θϕ=。 证明：如右图所示，由平抛运动的规律，得 200

tan v gt v v θ==， 200

12tan 2gt y gt x v t v ϕ===， 所以tan 2tan θϕ=。

推论2：做平抛（或类平抛）运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。如图中的A 点和B 点。

证明：设平抛物体的初速度为0v ，从原点O 到A 点的时间为t ，A 点的坐标为(,)x y ，B 点的坐标为/(,0)x ，

则0x v t =， 212

y gt = 2v gt =

22//00012tan gt v gt y v v x x v t x

θ====-- 解得：/01122

x v t x ==，即末状态A 点的速度方向的反向延长线与x 轴的交点B 必A 点水平位移的中点。

【例1】如右图所示，从倾角为θ的足够长的斜面上的A 点，

先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度

为1v ，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为1α，

第二次初速度为2v ，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为2α，若12v v >，则（ ）

A.12αα>

B.12αα=

C.12αα<

D.无法确定

【解析】由题意知两次小球都落在斜面上，则落在斜面上时的位移与水平方向的夹角均为θ。设两次小球落回斜面瞬间的速度与水平方向的夹角分别为1β，2β，根据推论1可知：1tan 2tan βθ=，2tan 2tan βθ=，则可得12ββ=。由11αβθ=-，22αβθ=-，易得：12αα=。即α是一定值，与初速度0v 的大小无关。选项B 正确。

【例2】如右图所示，为一物体做平抛运动的x y -图象，物体从O 点抛出，x 、y 分别为其水平和竖直位移。在物体运动过程中的任一点(,)P x y ，其速度的反向延长线交于x 轴的A （A 点未画出），则OA 的长为 ( )

A.x

B.0.5x

C.0.3x

D.无法确定

【解析】由曲线运动的特点可知，速度的反向延长线与x 轴的交点即为过P 的切线与x 轴的交点，由推论2可知0.5OA x =。选项B 正确。

【点评】对于推论2，在处理电场部分的带电粒子在极板间的类平抛运动的问题时，非常有用，在此不在讲述。