蛛网模型

蛛网模型在农产品数量与农产品价格之间关系的应用
摘要：在自由贸易市场上，一个时期以来当某种消费品的上市量远大于需求，
由于销售量不畅销导致价格下降，生产者转业。

过一段时间，这种农产品的数量就会下降，生产者看到有利可图又重抄旧业，这样下一个时期会重现供大于求，价格下降的局面，在没有外界干预的情况，这种现象将如此循环下去。

在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的。

因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量愈多价格愈低，而下一时期商品的数量由生产者的供应关系决定，商品价格低的时候生产的数量必然振荡，在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振幅渐小愈趋向平稳，有的则振幅愈来愈大，如果没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃。

本文先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分许，给出市场经济趋于稳定的条件，再用差分方程建立模型，对结果进行解释，并讨论当市场经济不稳定时政府可以采取什么样的干预措施。

关键词：农产品数量价格蛛网模型应用
一、蛛网模型介绍
蛛网模型（Cobweb model)
——运用弹性原理解释某些生产周期较长的商品在失去均衡时发生的
不同波动情况的一种动态分析理论。

蛛网理论(cobweb theorem)，又称蛛网模型，是利用弹性理论来考察价格波动对下一个周期产量影响的动态分析，它是用于市场均衡状态分析的一种理论模型。

蛛网理论是20世纪30年代出现的一种关于动态均衡分析方法。

在新古典经济学中，蛛网模型引进时间变化的因素，通过对属于不同时期的需求量、供给量和价格之间的相互作用的考察，用动态分析的方法论述生产周期较长的商品的产量和价格在偏离均衡状态以后的实际波动过程及其结果。

蛛网模型考察的是生产周期较长的商品，而且生产规模一旦确定不能中途改变，市场价格的变动只能影响下一周期的产量，而本期的产量则取决于前期的价格。

因此，蛛网模型的基本假设是商品本期的产量决定于前期的价格。

由于决定本期供给量的前期价格与决定本期需求量（销售量）的本期价格有可能不一致，会导致产量和价格偏离均衡状态，出现产量和价格的波动。

农产品由于生产周期长，完全符合蛛网模型考察的商品的必备条件。

由于生产周期长，农户本期的生产决策依据往往是前期的市场价格，这就形成农产品价格波动的蛛网模型现象以及采取的措施。

二、市场经济中的蛛网模型的应用
市场经济中的蛛网模型
描述商品数量与价格的变化规律
商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
设x k ~第k 时段商品数量；设y k ~第k 时段商品价格
消费者的需求关系 需求函数为减函数
生产者的供应关系 供应函数为增函数
一旦x k =x 0，则y k =y 0, x k+1,x k+2,…=x 0,
y k+1,y k+2,…=y 0,
供大于求 价格下降 减少产量
现 象
增加产量 价格上涨
供不应求
问 题 )
(k k x f y =)
()
(11++==k k
k k x g y y h x
x
y
方程模型 在P 0点附近用直线近似曲线
P 0不稳定
P 0不稳定
结果解释
y
y y
y
⇒⇒⇒⇒32211x y x y 0
321P P P P →→→
→ 0
0,y y x x k k →→y )(k k x f y =)
(1k k y h x =+)
0()(00>--=-ααx x y y k k )
(k k x f y =1
<αβ)
(1
)(g f K K =<=β
α1
>αβ)
(1
)(g f K K =>=β
α∞
→k x 0
x x k →)
(1k k y h x =+)
0()(001>-=-+ββy y x x k k
记XK 第k 时段商品数量； 记YK 第k 时段商品价格
α ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度
β ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量
α ~ 消费者对需求的敏感程度 。

α小, 有利于经济稳定。

β ~ 生产者对价格的敏感程度 。

β 小, 有利于经济稳定。

1 αβ 经济稳定
经济不稳定时政府的干预办法
1. 使 α 尽量小，如 α=0
此时需求曲线变为水平
以行政手段控制价格不变
2. 使 β 尽量小，如 β =0
y 0)
(00x x y y k k --=-α)
(001y y x x k k -=-+β
此时供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
模型的推广
生产者管理水平提高
假定生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量 设供应函数为
需求函数不变
为二阶线性常系数差分方程
x 0为平衡点 研究平衡点稳定，即k →∞, x k →x 0的条件
方程通解
(c1, c2由初始条件确定)
λ1, 2~特征根，即方程 0
22=++αβαβλλ
)
(0
01y y x x
k k -=-+β)
(00x x y y k k --=-α⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=-+211k k k y y h x
x 0
)
(1k k y h x =+ ,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβk k k c c x 2
211λ
λ+=x
平衡点稳定，即k →∞, x k →x 0的条件:
平衡点稳定条件 2 αβ
比原来的条件 1 αβ 放宽了
三、我国历年来稻谷的各种现象描述
图一：1978年以来我国每50公斤稻谷平均收购价格的变化图
年份 每50公斤的价格|元 1980年 16.78 1981年 16,89 1982年 17.28 1983年 17.45 1984年 17.35 1985年 18.01 1986年 20.48 1987年 26.39 1988年 27.78 1989年 28.98 1990年 26.85 1991年 26.12 1992年 28.43 1993年 35.8 1994年 59.44 1995年 75.11 1996年 72.09 1997年 65.09 1998年 62.05 1999年 53.04 2000年 48.36
1
2,1<λ4
8)(2
2
,1αβαβαβλ-±-=2
2,1αβ
λ
=
2001年51.5
2002年49.24
2003年50.56
2004年55.89
2005年64.32
2006年70.98
2007年76.01
2008年75.45
图二：1978年以来我国粮食产量的变化图（单位：万吨）
年份粮食|万吨
1978年30476.5
1979年33211.5
1980年32055.5
1981年32502
1982年35450
1983年38727.5
1984年40730.5
1985年37910.8
1986年39151.2
1987年40297.7
1988年39408.1
1989年40754.9
1990年44624.3
1991年43529.3
1992年44265.8
1993年45648.8
1994年44510.1
1995年46661.8
1996年50453.5
1997年49417.1
1998年51229.53
1999年50838.58
2000年46217.52
2001年45263.67
2002年45705.75
2003年43069.53
2004年46946.95
2005年48402.19
2006年49747.89
2007年50160.28
2008年52870.92
下图为我国1978年以来价格随产量变化的图。

产量|万吨每50公斤的价格|元32055.5 16.78
32502 16,89
35450 17.28
38727.5 17.45
40730.5 17.35
37910.8 18.01
39151.2 20.48
40297.7 26.39
39408.1 27.78
40754.9 28.98
44624.3 26.85
43529.3 26.12
44265.8 28.43
45648.8 35.8
44510.1 59.44
46661.8 75.11
50453.5 72.09
49417.1 65.09
51229.53 62.05
50838.58 53.04
46217.52 48.36
45263.67 51.5
45705.75 49.24
43069.53 50.56
46946.95 55.89
48402.19 64.32
49747.89 70.98
50160.28 76.01
52870.92 75.45
四、用蛛网模型对此现象进行分析
假定供给和需求函数都是线性的，蛛网模型可由以下方程表示：
a0－a1p t (1)
Qd（t）=
b0 +b1p t1- (2)
Qs（t）=-
Qd（t）=Qs（t） (3)
(1) 式表示需求量取决于当年的市场价格，(2)式表示，第t年的供给量决定于第t-1年的成交价格，(3)式表示市场必须出清，因此每年的供给量均等于需求量。

a0、a1、b0、b1均为系数，且均大于零。

将(1)式和(2)式代入(3)式可得：
a0－a1p t=－b0+b1p t1- (4)
从(4)式解出Pt：
(5)
在(5)式中假定t=1，可得第一年的价格为：
(6)
依此类推可得：
(7)
(8)
根据均衡价格定义，已知：
(9)
将Pe 代入(8)式并整理可得：
(10)
从(10)式中可得如下结论：
1．如果
，则：
即Pn 趋近于Pe ，市场价格无限趋近于均衡价格，蛛网周期是收敛的。

而
，说明b1＜a1，或供给曲线的斜率大于需求曲线的斜率，供给弹性较小而需求弹性较大。

如果：
，则：
表明价格将振荡至无穷大，蛛网周期是发散大。

此时b 1 > a 1，即供给曲线
的斜率小于需求曲线的斜率，供给弹性较大而需求弹性较小。

如果： ，则：P2n=Pe ，P2n+1=2Pe-P0
这表明价格在这两个值之间来回振荡，蛛网周期是循环的。

此时，b 1=a 1供给曲线的斜率等于需求曲线的斜率。

五、人们根据蛛网模型在农产品方面采取的措施
（一）设xk~第k 时段农产品数量；yk~第k 时段农产品价格
察α , β 的含义
α ~农产品数量减少1单位, 价格上涨幅度
)
(00x x y y k k --=-α)
(001y y x x k k -=-+β
β ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量
α ~ 消费者对需求的敏感程度α小, 有利于经济稳定
β ~ 生产者对价格的敏感程度 β 小, 有利于经济稳定
αβ小于1时，经济稳定
结果解释
经济不稳定时政府的干预办法
1. 使 α 尽量小，如 α=0 需求曲线变为水平
以行政手段控制价格不变
2. 供应曲线变为竖直
使 β 尽量小，如 β =0
y 0
靠经济实力控制数量不变
（二）从农产品供求弹性分析。

在一般情况下，价格波动的幅度取决于供求弹性的大小，如果两者都有弹性，则供需常常会随着价格做出灵活调整，市场常常处于均衡状态，价格不会发生大起大落。

如果一方缺少弹性或者两者都缺少弹性，供需的变化会带来价格波动大幅波动。

由于农产品需求弹性较低，而供给长期又富有弹性，因而农产品价格周期性现象明显，价格也呈现周期性波动，农产品总体上呈现出不稳定的特征。

由于农产品往往是缺乏需求价格弹性的商品，所以，供给曲线S 斜率的绝对值小于需求曲线D 斜率的绝对值，即S 与D 相比较，前者较平缓。

或者说，供给的价格弹性大于需求的价格弹性，这时，当市场由于受到外力的干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量上下波动的幅度会越来越大，偏离均衡点越来越远。

如上图所示，假定在第一期由于某种外在原因的干扰，实际产量由均衡水平Qe 减少为Q1 。

根据需求曲线，消费者为了购买全部的产量Q1，愿意支付较高0 x 0 g
f
y x
的价格P1，于是，实际价格上升为P1。

根据第一期的较高的价格水平P1，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为Q2。

在第二期，生产者为了出售全部的产量Q2，接受消费者所愿意支付的价格P2，于是，实际价格下降为P2。

根据第二期的较低的价格水平P2，生产者将第三期的产量减少为Q3。

在第三期，消费者为了购买全部的产量Q3，愿意支付的价格上升为P3，于是，实际价格又上升为P3。

根据第三期的较高的价格水平P3，生产者又将第四期的产量增加为Q4。

如此循环下去，实际产量和实际价格波动的幅度越来越大，偏离均衡产量和均衡价格越来越远。

图中的均衡点E所代表的均衡状态是不稳定的，被称为不稳定的均衡。

因此，当供给曲线比需求曲线较为平缓时，即供给的价格弹性大于需求的价格弹性，得到蛛网模型不稳定的结果，相应的蛛网被称为“发散型蛛网”。

参考文献：
【1】高鸿业《西方经济学》
【2】姜启源谢金星叶俊《数学模型》高等教育出版社。