高三基础知识天天练 数学选修4-5-2人教版

选修4-5 第2节

[知能演练]

一、选择题

1．若a ，b ，c ∈R ＋

，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为

( )

A ．1 B. 2 C. 3

D ．2

解析：(a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3. ∴a ＋b ＋c ≤ 3.

当且仅当a ＝b ＝c ＝1

3时等号成立．

故a ＋b ＋c 的最大值为 3. 故应选C. 答案：C

2．设a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝5，则a ＋2b 的最大值为

( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析：由柯西不等式得 (a 2＋b 2)(12＋22)≥(a ＋2b )2， 因为a 2＋b 2＝5， 所以(a ＋2b )2≤25， 即－5≤a ＋2b ≤5，

当且仅当b ＝2a 且a 2＋b 2＝5时等号成立，故选D. 答案：D

3．已知a >0，且M ＝a 3＋(a ＋1)3＋(a ＋2)3，N ＝a 2(a ＋1)＋(a ＋1)2(a ＋2)＋a (a ＋2)2，则M 与N 的大小关系是

( )

A ．M ≥N

B ．M >N

C ．M ≤N

D ．M

解析：取两组数：a ，a ＋1，a ＋2与a 2，(a ＋1)2，(a ＋2)2， 显然a 3＋(a ＋1)3＋(a ＋2)3是顺序和；

而a 2(a ＋1)＋(a ＋1)2(a ＋2)＋a (a ＋2)2是乱序和，由排序不等式易知此题中，“顺序和”

大于“乱序和”．

故应选B. 答案：B

4．已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝2，则x ＋4xy ＋4y 的最大值是

( )

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

解析：x ＋4xy ＋4y ＝(x ＋2y )2≤(12＋22)[(x )2＋(y )2] ＝5(x ＋y )＝5×2＝10. ∴x ＋4xy ＋4y ≤10. 当且仅当1×y ＝2x . 即y ＝4x (x >0)时等号成立．

解⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝4x x ＋y ＝2

得x ＝25符合x >0，

∴x ＋4xy ＋4y 的最大值为10，故应选C. 答案：C 二、填空题

5．把一条长是m 的绳子裁成三段，各围成一个正方形，则这三个正方形的面积和的最小值为________．

解析：设三段的长度分别为x ，y ，z ，则x ＋y ＋z ＝m ，三个正方形的面积和为S ＝(x

4)2

＋(y 4)2＋(z 4

)2 ＝1

16

(x 2＋y 2＋z 2)． 因为(x 2＋y 2＋z 2)(12＋12＋12) ≥(x ＋y ＋z )2＝m 2，

当且仅当x ＝y ＝z ＝m

3

时等号成立，

所以x 2

＋y 2

＋z 2

有最小值m 23，从而S 有最小值m 2

48

.

答案：m 2

48

6．设a ，b ，c 均为实数，则a ＋b －c

a 2＋2

b 2＋3

c 2的最大值为________．

解析：∵a ＋b －c ＝a ＋

22·2b －3

3

·3c ，

由柯西不等式得 (a ＋b －c )2＝(a ＋22·2b －3

3

·3c )2 ≤[12＋(

22)2＋(－3

3

)2](a 2＋2b 2＋3c 2)， ∴a ＋b －c ≤666

a 2

＋2b 2＋3c 2. ∴

a ＋

b －c

a 2＋2

b 2＋3

c 2

≤666.

故所求的最大值为666

. 答案：

666

三、解答题

7．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)(1

sin 2A ＋

1sin 2B ＋1

sin 2C

)≥36R 2. 证明：由正弦定理知： a sin A ＝b sin B ＝c sin C

＝2R . (a 2＋b 2＋c 2)(1sin 2A ＋1sin 2B ＋1

sin 2C )

≥(

a sin A ＋

b sin B ＋

c sin C

)2

＝(6R )2＝36R 2. 即(a 2＋b 2＋c 2)(1sin 2A ＋1sin 2B ＋1

sin 2C

)≥36R 2.

8．设a 1、a 2、…、a n 是1、2、…、n 的一个排列，求证：12＋2

3＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3

＋…

＋a n －1

a n

. 证明：设b 1、b 2、…、b n －1是a 1、a 2、…、a n －1的一个排列，且b 1

则1c 1>1c 2>…>1c n －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有

a 1a 2＋a 2

a 3＋…＋a n －1a n ≥

b 1

c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1 ≥12＋2

3＋…＋n －1n

.