玻尔兹曼速度分布律

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2. 如果考虑重力作用（即分子处在重力场中），气 如果考虑重力作用（即分子处在重力场中）， ），气 体分子在空间的分布是否还均匀？ 体分子在空间的分布是否还均匀？ 麦氏速率分布： 麦氏速率分布： 3 2
dN m 2 2 −mv = 4π ( ) ve N 2πKT
3 2
2KT
dv
m −EK 因为分子处在重力场中， 因为分子处在重力场中， = 4π ( ) v 2e KT dv 2πKT
使气体分子聚集在地面上， 使气体分子聚集在地面上，非均
对于更一般的情形， 对于更一般的情形，如在外力场 中的气体分子的分布将如何？？ 中的气体分子的分布将如何？？
2. 当 EP = 0时 e 则
E − P
KT
= 1 ∴ C′ = n0
−mgh
n = n0e
E − P
KT （ n 为 E = 0 处的分子数密度） P 0
推导： 推导：玻尔兹曼速度分布律
一、从麦克斯韦分布律推广到分子处在重力场中
1. 麦克斯韦速度分布函数是讨论理想气体在热动平衡 状态下分子在没有外力场作用下的速度分布情况： 状态下分子在没有外力场作用下的速度分布情况
dN m −EK =( ) e KT dvxdvy dvz N 2πKT
这时，分子在空间分布是均匀的。 这时，分子在空间分布是均匀的。气体分子在空间 各处的密度分布也是均匀的。 各处的密度分布也是均匀的。
又 Q EP = mgh
又因为
则
n = n0e
KT
m mNa Mmol = = K KNa R
所以
n = n0e
M gh − mol
RT
此公式就是玻尔兹曼分布律给出的粒子按高度分布 的定律。 的定律。
n = n0e
①h , 则 n按指数而减小； 按指数而减小； 按指数而减小
Mmolgh −
RT
越大，重力作用越显著， ②分子的摩尔质量 Mmol 越大，重力作用越显著，n 的减小就越迅速。 的减小就越迅速。 分子的无规则热运动越剧烈， ③T ，分子的无规则热运动越剧烈，n 的减小就 越缓慢。 越缓慢。
4. 实际应用： 实际应用：
Q P = nKTFra Baidu bibliotek
∴ P = n0e
M gh − mol
RT
KT = Pe 0
RT
M gh − mol
RT
为高度为零处的压强。 其中P0 = n0KT 为高度为零处的压强。 两边取自然对数 ln P = ln P + ln e 0
∴ h= RT P ln 0 M mol g P
1 2 2 2 E = EK + EP = m(vx + vy + vz ) + EP 2 −( EK +EP ) KT ∴ dN = Ce dvxdvydvz dxdydz
−E
上式称为玻尔兹曼分布律。 上式称为玻尔兹曼分布律。其中e KT 叫做玻尔兹曼 玻尔兹曼分布律 因子， 多少的重要因子。 因子，是决定分布分子数 dN多少的重要因子
M gh − mol
(高度计原理)
这说明， 越高， 越小， 这说明，T越高， mol 越小，它们相对而言就愈多地分 M 布在高层大气。这与大气逃逸问题的物理图象一致。 布在高层大气。这与大气逃逸问题的物理图象一致。
3. 实验证明： 实验证明：
1909年皮兰定量地研究布朗运动， 1909年皮兰定量地研究布朗运动，尤其是悬浮 年皮兰定量地研究布朗运动 液中布朗粒子数密度随高度的分布， 液中布朗粒子数密度随高度的分布，测得高度分别 处的密度n 为z1, z2处的密度 1, n2时，Na=(6.5-6.8) 1023/mol
dvxdvy dvz = 1
m(vx2 +vy2 +vz2 ) 2KT
即
所以 dN′ = C′e
dxdydz E − ′ 分子数密度： 分子数密度： n = dN = C′e KT dxdydz
P
−
EP KT
(分子按势能的分布律)
三、重力场中微粒按高度分布
1. 重力场中微粒受到两种相互对立的作用 重力场中微粒受到两种相互对立的作用。 ①无规则热运动 ②重力 匀分布。 匀分布 使气体分子均匀分布。 使气体分子均匀分布。
二、玻尔兹曼分布律
1. 要计算体积元
dxdydz中的各种速度总分子数
− m(vx2 +vy2 +vz2 ) 2KT
则 dN′ = C[∫∫∫ e
∞
dvxdvy dvz ]e
3
−
EP KT
dxdydz
考虑归一化条件： 考虑归一化条件：
− m ∫∫∫ ( 2πKT ) e ∞ 3 2
∫
∞
0
m 2 2 −EK KT 4π ( ) ve dv = 1 2πKT