正定二次型和正定矩阵PPT课件

a21
a31
a12 a22 a32
a13
a23

,
a33
,
12
a11
As


as1
的行列式.
a1s

,
ass
a11
,
An


an1
a1n


A.
ann
定理 实对称矩阵A (aij )nn 正定的充分必要条 件是其顺序主子式全大于零.
数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二次 型是不定的.
2
例
f ( x1 x2 )2 x22 x12 2 x1 x 2 x22正定二次型,
1
Af


1
1 2

正定矩阵;
g ( x1 x2 )2 x22 x12 2 x1 x 2 x22负定二次型,
11
为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我 们引进
定义 给定实对称矩阵 A (aij )nn ,
则其前s行前s列元素组成的行列式
As | aij |ss , s 1, , n
称为A的顺序主子式.即
A1

(a11 ), A2

a11

a21
a12 a22
, A3

a11
X T P T PX (PX )T PX PX 2 0.
设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩 阵,使得A=PTEP=PTP.
9
例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得 RTAR和RTBR同时为对角形. 证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交 矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则
99 6 24
A


正定二次型和正定矩阵
一、基本概念
定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意 非零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二 次型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵.
定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为 非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的， 其矩阵A 称为半正(负)定矩阵.
定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为正
1
Ag


1
21负定矩阵;
h

x12

x22不定二次型.Ah

1

0
0 1
不定矩阵.
3
二、正定矩阵的充分必要条件
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其
特征值都是正数.
证明 设实对称矩阵A的特征值 1, ,n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1, ,n , 对于X O, 令Y Q1X ,
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例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.
6 2 2
A


2
5
0

.
2 0 7
解| A1 | 6 0,
6 2
| A2 | 2
30 4 26 0, 5
6 2 2
| A3 | 2 5 0 210 20 28 162 0. 2 07
即 X QY,显然 Y O, 又1 0, ,n 0, 故
f X T AX
n
(QY )T AQY Y T (QT AQ)Y Y TY i yi2 0.
这就证明了条件的充分性.
i 1
4
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有
RT AR QTPT APQ QTEQ E,
RTBR 为对角形.
10
例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换. 证明必要性设AB正定,则AB对称,
AB ( AB)T BT AT BA.
充分性 设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正 定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC, CTBC是正定矩阵,特 征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.
于是
AX X ,
X T AX X T X 0, X T X 0,故 0.
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.
证明 QT AQ ,| QT AQ || QT || A || Q |
| Q1 || A || Q || Q |1| A || Q || A || | 1
1 3,2 6,3 9.
7
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与 单位矩阵合同.
证明 充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可
逆矩阵C,使得 CT AC E,对于任意向量X≠O,由于
C可逆,可从 CY 解X 出Y ≠O,于是
n
X T AX Y TY yi2 0,
故A是正定的.
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对
称的,A合同于一个对角矩阵 ,,其对角线元素是
A的特征值 1, ,n, 由于A是正定的,这些特征
值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,
故A合同于单位矩阵.
8
定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在 可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,P可逆.对于任意 X o,由于P可 逆,PX≠o,故 X o
n 0.
5
例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 解
A



6 2 2
2 5 0
2
0 7

.ห้องสมุดไป่ตู้
E A 6 2 2 6 2 2
2 5 0 2 5 0 2 0 7 2 0 7
6
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 2 12 35) 8( 6) ( 6)( 2 12 27) =( 3)( 6)( 9).
故A正定.
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实对称矩阵A正定的充分必要条件是
1.其特征值都是正数.
2.A合同于 En .
3.A PTP, P 可逆.
4.A的顺序主子式全是正数.
5.A的主子式全是正数.
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例 判断下列二次型是否正定:
f 99x12 12x1x2 48x1x3 130x22 60x2 x3 71x32