《轴对称》全章知识详解例题

轴对称全章复习与巩固（提高）

【学习目标】

1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；

2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；

3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、轴对称

1.轴对称图形和轴对称

（1）轴对称图形

如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

（2）轴对称

定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：

①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；

②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.

（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系

区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

2.线段的垂直平分线

线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

要点二、作轴对称图形

1.作轴对称图形

（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；

（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

2.用坐标表示轴对称

点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.

要点三、等腰三角形

1.等腰三角形

（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性质

　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.

2.等边三角形

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.

（3）等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.

3.直角三角形的性质定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【典型例题】

类型一、轴对称的性质与应用

1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田

字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角

形（不包含△ABC本身）共有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.

【答案】C；

【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．△HEC与△ABC关于CD对称；△FDB与△ABC关于BE对称；△GED与△ABC关于HF 对称；关于AG对称的是它本身．所以共3个．

【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键． 举一反三：

【变式】如图，△ABC 的内部有一点P ，且D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称

点．若△ABC 的内角∠A ＝70°，∠B ＝60°，∠C ＝50°，则∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝（ ）

A.180°

B.270°

C.360°

D.480°

【答案】C ；

解：连接AP ，BP ，CP ，

∵D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点 ∴∠ADB ＝∠APB ，∠BEC ＝∠BPC ，∠CFA ＝∠APC ，

∴∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝∠APB ＋∠BPC ＋∠APC ＝360°．

2、已知∠MON ＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.

【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P 的对称点来确定A 、B 的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析】

解：分别作P 关于OM 、ON 的对称点，，连接交OM 于1P 2P 12PP

A ，ON 于B.则△PA

B 为符合条件的三角形. ∵∠MON ＝40°

1

2

2P PB ∴∠P 1PP 2＝140°.

∠P 1PA ＝∠PAB,∠＝∠PBA.

12∴

(∠PAB ＋∠PBA)＋∠APB ＝140° 1

2

∴∠PAB ＋∠PBA ＋2∠APB ＝280°

∵∠PAB ＝∠＋∠, ∠PBA ＝∠＋∠ 1P 1PPA 2P 2P PB ∴∠＋∠＋∠＝180° 1P 2P 12PPP ∴∠APB ＝100°

【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值. 举一反三：

【变式】（2015?乐陵市模拟）（1）如图1，直线同侧有两点A 、B ，在直线上求一点C ，使它到A 、B 之和最小．（保留作图痕迹不写作法） （2）知识拓展：如图2，点P 在∠AOB 内部，试在OA 、OB 上分别找出两点E 、F ，使△PEF 周长最短（保留作图痕迹不写作法） （3）解决问题：①如图3，在五边形ABCDE 中，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 周长最小（保留作图痕迹不写作法）

②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC ，

AE=DE ，∠AMN+∠ANM 的度数为 ．

【答案】解：（1）作A 关于直线MN 的对称点E ，连接BE 交直线MN 于

C ，连接AC ，BC ，

则此时C 点符合要求．

（2）作图如下：

（3）①作图如下：

②∵∠BAE=125°， ∴∠P+∠Q=180°﹣125°=55°，

∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P ，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q ， ∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q ）=2×55°=110°．

3、（2016春?浦东新区期末）在直角坐标平面内，已知在y 轴与直线x =3之间有一点M （a ，3），如果该点关于直线x =3的对称点M 的坐标为（5，3），那么a 的值为（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【思路点拨】根据题意得出对称点到直线x =3的距离为2，再利用对称点的性质得出答案．

【答案】D ；

【解析】解：∵该点关于直线x =3的对称点N 的坐标为（5，3），

∴对称点到直线x =3的距离为2，

∵点M （a ，3）到直线x =3的距离为2， ∴a =1

【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点到直线x =3的距离是解题关键． 举一反三：

【变式1】如图，若直线经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt △AOB 与Rt △m A OB ''

关于直线对称，已知A （1，2），则点的坐标为（ ） m 'A A.（－1，2） B.（1，－2） C.（－1，－2） D.（－2，－1）

【答案】D ；

提示：因为Rt △AOB 与Rt △关于直线对称，所以通过作图可知，的A OB ''m A '坐标是（－2，－1）．

【变式2】如图，ΔABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），点B 的坐标为

（3，1），如果要使ΔABD 与ΔABC 全等，求点D 的坐标．

【答案】

解：满足条件的点D 的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）. 类型二、等腰三角形的综合应用

4、如图①，△ABC 中．AB=AC ，P 为底边BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E 、F 、H ．易证PE+PF=CH ．证明过程如下：

如图①，连接AP ．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴=

AB?PE ，=AC?PF ，=AB?CH ． ABP S △12ACP S △12ABC S △1

2

又∵，

ABP ACP ABC S S S +=△△△

121

2

∴

AB?PE+AC?PF=AB?CH ．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．

12（1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________. 【答案】7；4或10； 【解析】

解：（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下：

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴=

AB?PE ，=AC?PF ，=AB?CH ， ABP S △12ACP S △12ABC S △1

2

∵=+， ABP S △ACP S △ABC S △∴

AB?PE=AC?PF+AB?CH ， 12121

2

又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，

∴AC=2CH．

∵=AB?CH ，AB=AC ， ABC S △1

2

∴

×2CH?CH=49， 1

2

∴CH=7． 分两种情况：

①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+PF=CH，

∴PE=CH-PF=7-3=4；

②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10．

故答案为7；4或10．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．

5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求∠ADB

的度数．

【答案与解析】

解：将沿AB 翻折，得到，连结CE ， ABD △ABE △则，

ABD ABE △≌△∴∠1＝∠5＝12°. ,,BD BE ADB AEB =∠=∠∴60° 125EBC ∠=∠+∠+∠=∵48°∴．

3ABC ∠=∠=AB AC =又∵∠2＝36°，72°， 34BCD ∠=∠+∠=∴ ,BDC BCD BD BC ∠=∠=∴BE ＝BC

∴为等边三角形. BCE △∴

.BE CE =又垂直平分BC ． ,AB AC AE = ∴∴AE 平分． BEC ∠∴30° 1

2

AEB BEC ∠=

∠=∴∠ADB ＝30°

【总结升华】直接求很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全ADB ∠ABD △等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求． 举一反三：

【变式】在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，D 为形内一点，且∠DAB ＝∠DBA ＝10°，

求∠ACD 的度数

.

【答案】 解：作D 关于BC 中垂线的对称点E ，连结AE ，EC ，DE

A

C

D

1

2

3

B 5E

∴△ABD≌△ACE

∴AD＝AE, ∠DAB＝∠EAC＝10°

∵∠BAC=80°，

∴∠DAE＝60°，△ADE为等边三角形

∴∠AED＝60°

∵∠DAB＝∠DBA＝10°

∴AD＝BD＝DE＝EC

∴∠AEC＝160°，

∴∠DEC＝140°

∴∠DCE＝20°

∴∠ACD＝30°

类型三、等边三角形的综合应用

6、（2014秋?辛集市期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB

的延长线上，且ED=EC．

（1）【特殊情况，探索结论】

如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）．

（2）【特例启发，解答题目】

如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结

论，AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请

你完成以下解答过程）．

（3）【拓展结论，设计新题】

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC

的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．

【思路点拨】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且

CE为角平分线，由ED=EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等

角对等边即可得证；

（2）AE=DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE=EF=AF，BE=FC，再由ED=EC，以及等式的

性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应

边相等得到DB=EF，等量代换即可得证；

（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的

长即可．

【答案与解析】

解：（1）当E为AB的中点时，AE=DB；

（2）AE=DB，理由如下：

过点E作EF∥BC，交AC于点F，

证明：∵△ABC为等边三角形，

∴△AEF为等边三角形，

∴AE=EF，BE=CF，

∵ED=EC，

∴∠D=∠ECD，

∵∠DEB=60°﹣∠D，∠ECF=60°﹣∠ECD，

∴∠DEB=∠ECF，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DBE≌△EFC（SAS），

∴DB=EF，

则AE=DB；

（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，

∴DB=EF=2，BC=1，

则CD=BC+DB=3．

【总结升华】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．