非线性控制系统的分析

第8章 非线性控制系统的分析

重点与难点

一、基本概念

1. 线性与非线性系统的联系与区别

控制系统在不同程度上都存在着非线性。有些系统可以在工作点附近把它线性化，然后按线性系统来处理（如三级管放大器电路），但当系统含有本征非线性特性（如死区特性、继电器特性等）时，就不能用线性化的方法处理。死区特性将使系统出现较大的稳态误差。饱和特性将降低系统的超调量，有时还会引起稳定振荡。间隙特性可使系统的振荡加剧，静差也会增大，有时会使系统不稳定。继电器特性会出现低速爬行、蠕动及响应不平滑等现象。

与线性系统相比，非线性系统与线性系统的本质差别可以概括为以下三点： （1）线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统不能使用叠加原理；

（2）线性系统的稳定性与初值、输入无关，而非线性系统的稳定性与初值、输入有关； （3）线性系统可以写出通解形式，而非线性系统无法写出通解形式。 2. 相平面分析法

以x ，x

为坐标的平面就叫相平面，系统的某一状态对应于相平面上的一点。相平面上的点随时间变化的轨迹叫相轨迹。

对应于二阶线性定常系统的相轨迹，可以对非线性系统进行分析，这种分析方法称为相平面分析法。

二阶线性定常系统的相轨迹如表8-1所示。 3. 极限环

非线性系统存在着稳定的振荡状态，在相平面图上可表示为一个孤立的封闭相轨迹。所有附近的相轨迹都渐近地趋向这个封闭的相轨迹，或离开该封闭的相轨迹，该相轨迹称为极限环。极限环分为稳定和不稳定等四种形式，如表8-2所示。

非线性系统可能没有极限环，也可能存在多个极限环。在相平面图形上，一个稳定的极限环就对应于一个自振状态。

4. 相平面做图法I —等倾线法

令dx x

d a / =，即),(x x f a =。对于a 的不同取值，由),(x x f a =可得到x 与x 的不同关系式，而且在曲线),(x

x f a =上，均具有相同的斜率a 。给出一组a ，就可近似

描绘出相平面图形。

表8-1 二阶线性系统022

的相轨迹

表8-2 极限环基本形式

5. 相平面做图法II —δ方法

给),(x x f x

=两边同加x 2

ω，得

令 x x x f x x

22),(ωω+=+ 2

2),(),(ωωδx x x

f x

x +=

得 22),(ωδωx x x x

=+ 因此 21212

)(d x x

=-+⎪⎭

⎫ ⎝⎛δω

式中 2112212

1111)( ),(δωδδ-+==x x d x

x 利用上式就可得点],[11x

x 邻域内的相平面图形。 6. 描述函数

描述函数N 定义为非线性特性输出的基波分量与输入正弦量的复数比，即

X

A

j X B B A X

B A X

Y

N 1111212111arctg

+=∠+=

∠=ϕ 式中 X 为输入正弦量)(t x 的幅值，11,B A 为输出量中基波分量的傅氏系数。 7. 用描述函数分析非线性系统的基本假设

（1）系统可归化为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型单位反馈结构； （2）非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波幅值； （3）线性部分的低通滤波性能很好。 8. 描述函数法分析稳定性和自振

将线性系统的奈奎斯特稳定性判据推广，应用于非线性系统。当给定的假设条件满足时，在描述函数法中可以用线性系统中线性部分的频率特性)(ωj G 相对于临界点

)

(1

X N -

的相对位置来判断非线性系统的稳定性。 设线性部分的)(s G 中有右根P 个。 （1）若)(ωj G 曲线逆时针包围整个)

(1

X N -

曲线2/P 圈，则该系统是闭环稳定的，否则该非线性系统是不稳定的。

（2）若)(ωj G 曲线与)

(1

X N -

没有交点，则系统不存在周期的等幅振荡。 （3）若)(ωj G 曲线与)

(1

X N -

有交点（此时类似于线性系统中)(ωj G =-1），则非

线性系统处于临界状态，存在等幅振荡，是周期运动状态。至于)(ωj G 与)

(1

X N -

两条 曲线的交点是否就是自振点，还要看此交点是否就是存在稳定周期运动的点，只有存在着稳定的周期运动的点才是自振点。

（4）如果非线性系统的线性部分)(s G 上有最小相位性质，即0=P ，判断非线性系

统简单了许多，即：若)(ωj G 曲线包围)

(1

X N -

曲线，则非线性系统不稳定；若)(ωj G 曲线不包围)(1X N -曲线，而非线性系统稳定；若)(ωj G 曲线和)

(1

X N -曲线相交，则系

统存在周期运动；若当振幅X 增大时，)

(1

X N -曲线由)(ωj G 包围的区域（不稳定区）

穿出，该交点处存在着稳定的周期运动，该交点是自振点。

二、难点及求解方法 1. 系统结构的简化

为了用描述函数判定系统的性能，必须将系统结构简化为一个线性部分和一个非线性部分的串联形式。

判别非线性系统稳定性的步骤为：

第一步：将实际系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型结构。 （1）令输入信号 0)(=t r

（2）将非线性元件合并为等效的非线性部分。

① 非线性环节串联 两个非线性环节串联，可将两个环节的特性归化为一个特性，即第一个非线性环节的输入为归化后的非线性部分的输入，以第二个非线性环节的输出为归化后的非线性特性的输出。串联的非线性环节次序不可交换。一般地说，不能用两个串联的非线性环节描述函数相乘得到等效的非线性特性的描述函数。

用同样的方法，依次将多个串联非线性环节的描述函数求出。

② 非线性环节并联 r 个非线性环节并联后的描述函数并不等于各非线性环节的描述函数的代数和。假定第i 个非线性环节的描述函数为

li

li

li li i B A B A X

N arctg

1∠+=

则等效的非线性特性的描述函数为

∑∑∑∑==

==∠⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=

r

i li

r

i li r i li r i li B A B A X

N 1

1

2121arctg 1