晶体对称性

r X
r F ( r ′) 不变 对称物体 r r r 物体 F ( r ′ ) 的一个对称变化 g X = X ′ 相同
[ ]
对称变换的两种理解方法存在着内在的本质上的 联系。分析结构模型时，第一种较为方便； 在进行理论处理时，第二种更为适用。 推论： 1)对称物体必然包含等同部分（包括镜像等同 ）； 2)对称变换的反变换也是对称变换。
第四章：晶体的对称性 § 4.2 空间变换
空间变换的分类 点对称变换（本征变换）： 至少保持空间一个点的位置不变。 简单转动 镜象转动 反演 反射 点群
非点对称变换（非本征转动）： 空间所有点的位置都发生了变化。 平移 平移周期 滑移反射 螺旋转动
第四章：晶体的对称性 § 4.2 空间变换
空间变换的数学表达
D′
C′
Chasles定理
可通过转动使平面内的两个迭合等同三角形重合。
O
α
C′
A A′
C
B′
B i) 作 A A ′ 和B B ′的垂直平分线，交于 O ， ii) 转动 A ′ B ′C ′，A A ′和 B B ′ 同时重合，整个三角形重合。
定理一：总有一个螺旋转动能使迭合等同四面体重合
v) 在 p 面上找出 O ，并过 O 做 N s || q ； vi)
r r r r′ = D ⋅r + t
本征转动 非本征转动
⎡ a11 D=⎢ ⎢ a 21 ⎢ ⎣ a 31
a12 a 22 a 32
a13 ⎤ a 23 ⎥ ⎥ a 33 ⎥ ⎦
矩阵 D 相当于一个坐标轴的转动变换，是转置矩阵并满足正交归一条件：
⎧1 i = k ∑ aij a jk = δ ij = ⎨0 i ≠ j ⎩
的两个镜象反射。 此处的两个反射面不是独立的，必须成对出现。位置有任意性。 定理III：两个相交的简单转动得到第三个相交于同一点 的独立转动。
简单转动化为两个相交的镜象反射
m2
m1
α 2 α
平移化为两个垂直于平移的镜象反射
m1
m2
r t
r t 2
两个相交的转动得到第三个转动
A ′′
Nα 2
A′
Biblioteka Baiduα2 2
A ′′′
Nα1
N α 1、 N α 2 各分出一 个以 ON α 1 N α 2 平面 N α 3 为镜面的镜象反射，
剩下的两个镜面合起 来构成 N α 3，而两个 ON α 1 N α 2 互相抵 消，是独立的。
α1 2
A
α3 2
N α 3 是独立的。
O
作业
一、证明第一类变换可分解为平移和转动的迭 加，第二类变换可分解为镜象反射和转动的 迭加。 二、举出若干个自然界中的对称物体，并说明 其所包含的等同部分属于迭合等同还是镜象 等同。
r r r r r r r ′′ = D 2 ⋅ r ′ + t 2 = D 2 D1 ⋅ r + t 2 + t1
第四章：晶体的对称性 § 4.2 空间变换
几条定理 定理I：简单转动 α 可化为两个相交于转轴、夹角为 α 2 的两个镜象反射。
r r 定理II：平移 t 可化为两个垂直于平移方向、相距为 t 2
并有：
D
2
= 1 ，或 D = ± 1
度规不变 的要求
第四章：晶体的对称性 § 4.2 空间变换
第一类变换和第二类变换的联系和差别
⎧ + 1 第一类变换 D =⎨ ⎩ − 1 第二类变换
（1）不可能由若干个第一类变换的组合得到第 推论： 二类变换。 （2）偶数个第二类变换的结果是第一类变换； 奇数个第二类变换的结果仍是第二类变换。
第四章：晶体的对称性 § 4.2 空间变换
对应于两类四面体的重合过程就是两类基本的度规不变变换。 第一类变换（本征运动）： 两个迭合等同四面体的重合过程。 定理一：任何第一类变换都可分解为平移和与之垂 直的转动的迭加（螺旋转动）。 第二类变换（非本征运动）： 两个镜象等同四面体的重合过程。 定理二：任何第二类变换都可分解为镜象反射和与 之垂直的转动的迭加（反射转动）。
g i1 gi2 M g ik
hi
g is g jt → hi h j
G→ H 则群 H 同态于群 G ：
同态群 H 部分体现了 G 群的性质。在 H 中建立的规律对 G 中的某些性质适用。
H ：二维点群 G ：三维点群
第四章：晶体的对称性 § 4.3 对称群的类型和性质
群论基础（局限于晶体对称性的需要） 群的基本性质： 4、共轭类：
第四章：晶体的对称性 § 4.1 对称性的概念 § 4.2 空间变换 § 4.3 对称群的类型和性质 § 4.4 晶体学点群 § 4.5 晶系和布拉菲群 § 4.6 空间群和国际表
第四章：晶体的对称性 § 4.1 对称性的概念
对称性在自然界普遍存在
z 物理规律 z 建筑、图案、动物、植物、雪花、…… z 晶体具有特殊的对称性，宏观、微观
g i g j ↔ hi h j
则两群同形： G ↔ H 相互同形的具体群是同一抽象群的不同体现形式， 在抽象群中建立的规律在所有和它同形的群中都适 用，只是具体的物理意义和解释不同。
第四章：晶体的对称性 § 4.3 对称群的类型和性质
群论基础（局限于晶体对称性的需要） 群的基本性质： 4、同态（准同形）：两个群的元素及其乘积之间有 一一对应关系：
B ′′
m A′
C′
B′
D′
定理二：总有一个反射转动能使镜像等同四面体重合
iii)在 m 面内找到 ABC 投影和
A ′ B ′C ′投影的Chasles中心O ； iv)绕过 O 点垂直 m 面的轴转动α s 并对m面反射，使 ABCD 与 A ′ B ′C ′D ′ 重合。 D ′′ D C
A
第四章：晶体的对称性 § 4.1 对称性的概念 定义：对称性是描述物体性质的函 数，是当物体经历某种变换时 的不变性。
两种等价的理解方法： 1) 变换作用在物体上，物体变换前后与自身重合。
Y
r r′ r r
r r 变换 g [r ] = r ′作用下 r F ( r ′) 不变，即： r r r F ( r ′) = F ( g [r ]) = F ( r )
第四章：晶体的对称性 § 4.3 对称群的类型和性质
群论基础（局限于晶体对称性的需要） 群的基本性质： 3、同形（同构）：两个群
G {g 1 , g 2 , g 3 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅}
H {h1 , h 2 , h3 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅}
的元素及其乘积之间有一一对应关系：
g i ↔ hi
B
~ Nα
C ′′ A ′′
B ′′
α
m
O
B′ 特例： C C ′交与一点→反演 C′ A A ′、 B B ′、 C C ′ ⊥ m→反射 、B B ′ ⊥ m、 A A′ ⊥ m A A ′ || B B ′ || C C ′ →滑移反射 D′
A′
~ 镜象转动和反演转动等价： N α = N α −π
′ C C ′的中点作反射面m ； i) 过 A A ′、 BB、
ii)
A ′ B ′C ′D ′ 以 m 为镜面反射至 A ′′ B ′′C ′′D ′′，则 ′ C ′′ 到 m 面的距离相等； B ′、 A、 B、 C 到 m 面的距离分别与 A ′′、 D ′′ D C
A
B
C ′′ A ′′
G 构成一群，g i 称为群 G的一个元素。
一般情况下，群元素没有交换律：g i g j ≠ g j g i 对称物体的所有对称变换构成一个群。
第四章：晶体的对称性 § 4.3 对称群的类型和性质
群论基础（局限于晶体对称性的需要） 群的基本性质： 1、阶 h ：群中元素的个数 有限群： h →有限正整数，点群 无限群：h →无穷大正整数，平移群 2、子群：群 G部分元素的集合 H 满足群公理的要 求，则 H 构成 G 的一个子群。 子群指数：p = n G n H
o
X
2) 变换作用在坐标轴上，观察者换用不同的坐标系，观 察结果相同。
Y′
Y
r rX ′
X′
r rX
同一变换作用在坐标轴上：
r X ′在 r r (新坐标轴 r g X = X ′ 旧坐标系 X 中 的坐标)
[ ]
o
X
r r −1 则： X = g X′
观察结果相同：
[ ]
r r r F (r ) = FX ′ (r ) r r −1 r r 即： F X ( r ) = g [F X ′ ( r ) ]
第四章：晶体的对称性 § 4.1 对称性的概念 § 4.2 空间变换 § 4.3 对称群的类型和性质 § 4.4 晶体学点群 § 4.5 晶系 § 4.6 空间群和国际表
第四章：晶体的对称性 § 4.3 对称群的类型和性质
群论基础（局限于晶体对称性的需要） 定义： 集合 G {g 1 , g 2 , g 3 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅} 上定义了乘法，并满足： 1、封闭性： g i g j = g k ∈ G (乘法表) 2、结合律： g i ( g j g k ) = ( g i g j ) g k 3、单位元素： eg i = g i e = g i −1 −1 g g = g 4、倒易元素： i i i gi = e
ABCD 的 A 沿 q 平移至 A ′′′，然后绕 N s转动α ，就与 A ′ B ′C ′D ′ 重合（位向相同，一点重合）。 q D A t s = 0 →简单转动 特例： C α = 0 →平移 Ns B t
s
O
A ′′′ p
α
A′ B′
D′
C′
定理二：总有一个反射转动能使镜像等同四面体重合
推论一：每个群元素属于且只属于一个共轭类。 一个群元素代表一种性质
推论二：单位元素是一个特殊的共轭类。 单位元素代表自身等同，在所有坐标系中相同
推论三：群元素可按共轭类分解。
G = C 0 U C1 U L U C N
按性质分解，一个性质一个共轭类
第四章：晶体的对称性 § 4.3 对称群的类型和性质
C
A A ′′ B ′′ q
D ′′
C ′′
B
A′ B′
D′
C′
定理一：总有一个螺旋转动能使迭合等同四面体重合
iii) 作面 p ⊥ q ，交 q 于 A ′′′； iv)
ABC 和
A ′ B ′C ′在 p 面上的投影迭合等同，可通过
一个旋转重合（Chasles定理）；
D
C
q A
B
A′ p B′
−1 g = g g g g j共轭。 共轭：若 j k i k ，则 g i 、 g j是在新坐标系中看旧坐标系 从坐标变换的角度看， −1 g g g 中的 （ k， k 分别变回旧坐标系和变入新坐标系）， i 因此，两个共轭元素实际上是同一性质在 g k 坐标变换
相联系起来的两个坐标系中的表现形式。 所有相互共轭的元素的集合构成一个共轭类。 共轭类是某一性质的代表，共轭类中的元素是同一性质 在所有由对称变换相联系的坐标系中的不同表现形式。
一个对称物体的所有对称变换满足群的要求，构成群。
第四章：晶体的对称性 § 4.2 空间变换
晶体学中的“点” 晶体学中的点是用来检验空间变换的，真空、面、线、点 （几何）在某些变换下不变，因此都不能用来检验空间变 换的发生。 晶体学中选用四个不共面、不等距的点构成的不对称四面 体（刚性关联）这一不具任何对称性的结构来检验空间变 换的发生。 晶体学中的“点”指的就是这种不对称四面体。
群论基础（局限于晶体对称性的需要） 群的基本性质： 5、陪集： 不属于子群 H 的元素 g i和子群的元素 h j 逐一相乘 所得到的集合。 右陪集： Hg i = {h1 g i , h 2 g i , h3 g i ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, h M g i } 左陪集：g i H = {g i h1 , g i h 2 , g i h3 ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅, g i h M } 右陪集是子群对子群外元素的扩展， 左陪集是子群外元素对子群的扩展。
D
C
A
B
第四章：晶体的对称性 § 4.2 空间变换
晶体学中的空间变换 晶体学中讨论的空间变换是几何上可能的对称变换，必 然是度规不变的变换。这种变换保持空间任意两点的距 离不变。在这种变换的作用下，空间不变形、不延伸、 不扭曲、体积不变。 两种基本的度规不变变换 给定四个点间的距离，可以构成两个不对称四面体，因 此两个四点距离相同的四面体有两种关系： 迭合等同 镜象等同
定理一：总有一个螺旋转动能使迭合等同四面体重合
i) 任一对应三角形重合，整个四面体重合； ii)平移 A ′ B ′C ′D ′使 A ′点与A 重合，作 B B ′′和 C C ′′ 的中垂面， 由于AB = A ′′ B ′′ 、AC = A ′′ C ′′ 两面都过 A ，交于直线 q ；
D